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lili73

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pb de suite qui m'en fait voir de tte les couleurs... [Résolu]

salut voici le pb de suite, je voudrai savoir quelles formules utiliser et le rèsultat qu'il faut que j'obtienne s'il vous plait (en sachant que l'on vient de voir les suites avec les hypothèses de récurrence):

on s'intéresse à la somme (Sn) des cubes des n premiers entiers naturels impairs.

1) calculer (S1),(S2) et (S3) 
jusque là je n'ai pas eu de pb, la suite se corse en peu:

2)Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n> ou =1, on a (Sn)= 2n^4-n².
ici je n'ai plus d'idée pour trouver la solution.

3) et enfin il faut trouver l'entier n tel que: (Sn) = 41328.

le professeur nous a suggéré de le calculer à la calculatrice donc je ne devrai pas avoir de souci...

merci de votre aide.... @+ !!!!

yoshi

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Re : pb de suite qui m'en fait voir de tte les couleurs... [Résolu]

Salut,

Puisque tu as calculé S1, S2, S3, tu es déjà en mesure de valider la première étape de la récurrence.
Maintenant, tu sais que tu va supposer que c'est vrai pour n et vérifier que ça l'est pour n+1...

Tu as donc besoin

1. De savoir écrire en fonction de n, le n+1e nombre impair, pour pouvoir ajouter son cube à Sn. Pour ne pas "déflorer" le sujet, je vais l'appeler nc, comme "non communiqué... ;-)

2. De savoir prouver que [tex]S_{n+1}=2n^4-n^2+nc^3=2(n+1)^4-(n+1)^2[/tex]
Pour cela, tu vas avoir besoin d'un peu de "cuisine" :
- Développe le [tex]2n^4-n^2+nc^3[/tex] sans réduction,
- Développe le [tex]2(n+1)^4-(n+1)^2[/tex] sans réduction,
- Regarde ton premier développement et ce qui le sépare du 2e. Tu vas être obligée de remplacer 6n par 8n - 2n, et 1 par 2 - 1, puis tu arranges les termes pour coller au développement de la 2e ligne...

Même si, personnellement, je n'aime pas ça et que je considère n'avoir pas répondu à la question, je pense que ce doit être accepté de réduire les deux développements et constater l'égalité (je cherche une factorisation, sans succès pour l'instant...)

@+

PS
Quant à calculer le n à la machine, sauf si c'est un exercice d'utilisation de la machine, c'est un peu du gâchis. Résoudre
[tex]2n^4-n^2-41328=0[/tex]
ne présente pas grande difficulté.
Tu poses en effet s = n² et tu obtiens :
[tex]2s^2-s-41328=0[/tex]
qui est une "bête" équation du 2nd degré...

lili73

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Re : pb de suite qui m'en fait voir de tte les couleurs... [Résolu]

merci pour ton aide mais il y a un bémol/
j'ai cherché pour nc, j'ai trouvé (2n+1)
mais je n'arrive pas à pourver que les deux formules qu'il faut développer sont égales
je suppose donc que mon nc est faux.
tu peux me donner un dernier coup de pouce stp....:D  !!!!!
MERCI
a+

Dernière modification par lili73 (16-09-2007 17:39:07)

yoshi

Modo Ferox

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Re : pb de suite qui m'en fait voir de tte les couleurs... [Résolu]

Bonsoir,

Oui le (n+ 1)e nombre impair est 2n + 1. Si n = 3, le 4e nombre impair est bien 2 X 3 + 1 = 7.
On reprend ta récurrence :
Tu sais maintenant que :
[tex]S_n = 2n^4-n^2[/tex]
Et tu veux prouver que :
[tex]S_{n+1}= 2n^4-n^2+(2n + 1)^3 = 2(n+1)^4-(n+1)^2[/tex]
On sait que :
[tex](a + b)^4= a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4[/tex]
[tex](a + b)^3= a^3+3a^2b+3ab^2+b^3[/tex]
(je fais ça avec le triangle arithmétique de Pascal qui donne les coefficients C machin truc, auquels je n'ai pas accordé assez d'attention, dans le temps...)

[tex]2(n+1)^4-(n+1)^2=2(n^4+4n^3+6n^2+4n+1)-n^2-2n-1\\2n^4-n^2+(2n + 1)^3= 2n^4-n^2+8n^3+12n^2+6n+1[/tex]

Si je retouche la présentation, je trouve :
[tex]2(n+1)^4-(n+1)^2=2n^4+8n^3+12n^2+8n+2-n^2-2n-1\\2n^4-n^2+(2n + 1)^3= 2n^4+8n^3+12n^2+6n+1-n^2[/tex]
Et là, normalement, tu vois bien comment il faut "tripatouiller" la 2e ligne :
remplacer 6n par 8n - 2n  et 1 par 2 - 1:
Ainsi le -2n, il va avec le -n², et le -1 aussi.
Ceci fait, sans montrer le développement de la puissance 4 sur ta feuille
- tu mets 2 en facteur dans la première partie
- tu mets un - devant une parenthèse dans laquelle tu écris (n²+2n+1)
- tu fais remarquer que ta première parenthèse est le développemennt de (n+1)^4 et la deuxième celui de (n+1)² et le tour est joué.

Cela dit, si tes deux développements ne coïncident pas chez toi, il y a une erreur de calcul.... Cherche-la, trouve-la, c'est formateur...

C'est mieux ?

@+

lili73

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Re : pb de suite qui m'en fait voir de tte les couleurs... [Résolu]

tro simpa de ta part Yoshi:  j'ai tout compris même là où j'ai fait mon erreur de calcul.
tu peux pas savoir comme je te remercie!!!!!!

a+

Dernière modification par lili73 (16-09-2007 19:16:40)

yoshi

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Re : pb de suite qui m'en fait voir de tte les couleurs... [Résolu]

Alors, c'est bien...

Ravi de t"avoir rendu service.

@+