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cléopatre

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Injectivité pour démontrer... [Résolu]

Bonjour à tos et à toutes !

Mon titre est assez vague et j'en suis désolé mais c'est pourtant bien ce que je veux demander par ce message. J'aimerais savoir comment je pourrais faire pour utiliser la définition de l'injectivité pour démontrer certaines choses...

Par exemple, on peut démontrer que f injective si et seulement si f(A inter B) = f(A) inter f(B) avec f : E --> F et A et B inclus dans E

Ou encore soit A, B 2 parties de E et soit  l'application  P(E) --> P(A) * P(B) tel que f(X) = (X inter A, X inter B).
Démontrer f injective ssi A union B =E

PS: mon problème ne vient pas du fait que je ne sais pas ce qu'est une injection (pour tout (x1, x2) f(x1) = f(x2) => x1 = x2

Merci d'avance.

Bisous de Cléo

Dernière modification par cléopatre (09-09-2007 13:44:20)

Véronique

Invité

Re : Injectivité pour démontrer... [Résolu]

Salut,

  Tu sais ce que c'est qu'une injection puisque tu as la définition.
Ce dont tu n'as pas (encore) l'habitude, c'est de traiter ce genre
d'exercices bcp plus abstrait que ce que tu faisais en terminale.

Je t'explique pour le premier. Il faut démontrer l'équivalence donc
deux implications. La première :

f injective => f(A inter B)=f(A)inter f(B).

  On suppose donc f injective. On doit démontrer une double inclusion.
Prenons y dans f(A inter B).
Il existe x dans A inter B tel que y=f(x).
Mais alors x est dans A donc y appartient à f(A).
Et x est dans B donc y appartient à f(B). Donc x appartient à f(A)inter f(B)
(cette inclusion n'utilise pas que f est injective).

Prenons ensuite y dans f(A)inter f(B).
Puisque  y est dans f(A), il existe x1 dans A tel que y=f(x1).
Puisque y est dans f(B), il existe x2 dans B tel que y=f(x2).
On a donc f(x1)=f(x2). Puisque f est injective, on a x1=x2
et donc x1 est élément de A inter B. C'est-à-dire que y est dans f(A inter B).

Seconde implication
f(A inter B)=f(A) inter f(B) implique f injective

C'est un petit peu plus dur car il faut appliquer la propriété avec de bons A et B.
Puisqu'on veut démontrer que f est injective, on prend x et y dans
E avec f(x)=f(y)=z. On n'a pas tellement d'autres choix que de poser A={x}
et B={y}.
On sait que f(A)={z} et f(B)={z}, donc f(A inter B)=f(A)inter f(B)={z}.
En particulier, A inter B n'est pas vide. Mais ceci entraine que x=y,
ou encore que f est injective.

Je reconnais que c'est assez dur la première fois que l'on a affaire à cela.
Mais ce n'est pas si dur en réalité. Il faut d'une part être systématique
(écrire les deux implications, la double inclusion, etc...)
D'autre part, il faut avoir un tout petit peu d'imagination...

Am,
Véro.

Fred

Administrateur

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Re : Injectivité pour démontrer... [Résolu]

Je ne ferai pas mieux que Véro, mais je peux juste signaler que l'exercice
est corrigé dans la base de données d'exercice de la BibM@th...

http://www.bibmath.net/exercices/index.php3

Fred.

cléopatre

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Re : Injectivité pour démontrer... [Résolu]

Bonjour Fred et Véro !

Je remercie Véro de m'avoir bien expliquer... Je lui en suis reconnaissante.

Merci pour ce lien Fred, je le regarderais plus souvent ;)

Bisous et à très vite !