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difa

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Fonction Periodique [Résolu]

Est-ce que quelqu'un peut me donner la solution de cet exercice:
Montrer qu'une fonction (de R dans R )périodique admettant une limite est constante.

Merci

galdinx

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Re : Fonction Periodique [Résolu]

Bonjour,

On peut t'aider mais te donner la réponse n'aurait aucun intéret.

Il suffit de reprendre les définitions de tes 2 propriétés et de les coupler...

Pour mémoire (enfin il me semble)

f est T-périodique ssi quelque soit x dans R et k dans Z, f(k+x) = f(x)      (car ta fonction va de R dans R)

f admet une limite en l'infini ssi quelque soit D, il existe a tel que quelque soit x>a, f(x) < D.

Il est évdent de montrer qu'une fonction constante répond a ces 2 propriétés.
A toi de montrer qu'une fonction non constante ne peut pas répondre a ces 2 propriétés...

+++

difa

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Re : Fonction Periodique [Résolu]

Désolé mais je n'y arrive toujours pas

Soit f une fonction T-périodique non constante, il existe un x et y,x>y tel que f(x)>f(y)
il faut montrer
"Quelque soit D, tel que quelque soit a il existe x>a, f(x)>=D"?

vbnul

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Re : Fonction Periodique [Résolu]

Je suis pas tout à fait d'accord avec les définitions :
- f est T-périodique : [tex]\forall x \in \mathbb{R}\; \forall k \in \mathbb{Z}\; f(kT+x)=f(x)[/tex]
- f admet l pour limite en l'infini : [tex]\forall a \in \mathbb{R}\; \exists A \forall x > A\: | f(x)-l|<a[/tex]

Dernière modification par vbnul (26-07-2007 10:53:17)

galdinx

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Re : Fonction Periodique [Résolu]

Bonjour,

Exact pour les définitions, les miennes ne voulaient rien dire, pour T-périodique c'était un lapsus, pour la limite une connerie...

Merci des modifications vbnul

++

misterfanfan

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Re : Fonction Periodique [Résolu]

Euh j'ai relu ton énoncé difa(le 2ème) il est bizzare je trouve il ne manque pas quelque chose? Si l'énoncé correct est le tout premier que tu as écrit alors fais un raisonnement par l'absurde c'est encore le plus simple.

Dernière modification par misterfanfan (26-07-2007 16:51:44)

difa

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Re : Fonction Periodique [Résolu]

C'est le premier enoncé qui est juste le second etait un début de raisonnement mais c'etait un peu n'importe quoi

difa

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Re : Fonction Periodique [Résolu]

Si je fais un raisonnement par l'absurde, je suppose que f périodique et n'on constant (x=/y f(x)<f(y) par exemple) et je dois montrer que f n'admet pas de limite?
Je n'y arrive toujours pas (je ne suis pas tres intelligente)

vbnul

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Re : Fonction Periodique [Résolu]

Voici la solution :

Soit f telle que :
- f est T-périodique : [tex]\exists T \neq 0 / \forall x \in \mathbb{R}\; \forall k \in \mathbb{Z}\; f(kT+x)=f(x)[/tex] (P)
- f n'est pas constante : [tex]\forall c \exists x / f(x) \neq c[/tex] (C)

On veut prouver que ceci est faux :
- f admet l pour limite en l'infini : [tex]\exists l / \forall a \in \mathbb{R}\; \exists A \forall x > A\: | f(x)-l|<a[/tex] (L)

On a f non-constante, en particulier pour c=l, [tex]\exists b \; f(b) \neq l \Rightarrow f(b)-l \neq 0[/tex]
En particulier pour [tex]a=\frac{|f(b)-l|}{2}[/tex], d'après (L) on a [tex]\exists A / \forall x>A \: |f(x)-l|<\frac{|f(b)-l|}{2}[/tex]

Ce qui est faux car [tex]\forall A \exists k / kT+b>A[/tex] et [tex]|f(kT+b)-l|=|f(b)-l|>\frac{|f(b)-l|}{2}[/tex]
On a donc prouvé que si une fonction est périodique et non-constante, alors elle n'a pas de limite en l'infini.

je ne suis pas tres intelligente

Moi non plus à vrai dire, t'en fais pas.

difa

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Re : Fonction Periodique [Résolu]

Merci beaucoup pour cette démonstration
Maintenant c'est beaucoup plus clair!!!!