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Carelle

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parallélisme de 2 sous espaces affines

Bonjour à tous,
F₁ et F₂ 2 sous espaces affines de l'espace affine E
1) On suppose F₁ // F₂
Montrer que F₁ ∩ F₂ = ∅ ou F₁ est inclus dans F₂
2) A et B 2 points distincts de E
Montrer qu'il existe une unique droite affine qui passe par A et B
Merci d'avance

Fred

Administrateur

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Messages : 7 352

Re : parallélisme de 2 sous espaces affines

Bonjour,

1) Soit $\vec{F_1}$ et $\vec{F_2}$ les directions respectives de $F_1$ et de $F_2$. Si je comprends bien ta définition de sous-espaces affines parallèles (il y en a plusieurs possibles), on a $\vec{F_1}\subset \vec{F_2}$. Soit également $A\in F_1$ et $B\in F_2$, de sorte que $F_1=A+\vec{F_1}$ et $F_2=B+\vec{F_2}$.
On suppose que $F_1\cap F_2\neq\varnothing$ et on va/doit prouver que $F_1\subset F_2$. Pour cela, on choisit $M\in F_1\cap F_2$.
Alors $\overrightarrow{AM}\in\vec{F_1}\subset\vec{F_2}$ et $\overrightarrow{BM}\subset\vec{F_2}$. On en déduit que
$\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{MA}\in\vec{F_2}$. Ainsi, $A$ est élément de $F_2$. Cela devrait te suffire pour conclure que $F_1\subset F_2$.

2) L'existence d'une droite, c'est facile (elle passe par $A$ et a pour vecteur directeur...). Pour l'unicité de cette droite, tu peux utiliser la question précédente.

F.

Carelle00

Invité

Re : parallélisme de 2 sous espaces affines

Bonjour,

1) Soit $\vec{F_1}$ et $\vec{F_2}$ les directions respectives de $F_1$ et de $F_2$. Si je comprends bien ta définition de sous-espaces affines parallèles (il y en a plusieurs possibles), on a $\vec{F_1}\subset \vec{F_2}$. Soit également $A\in F_1$ et $B\in F_2$, de sorte que $F_1=A+\vec{F_1}$ et $F_2=B+\vec{F_2}$.
On suppose que $F_1\cap F_2\neq\varnothing$ et on va/doit prouver que $F_1\subset F_2$. Pour cela, on choisit $M\in F_1\cap F_2$.
Alors $\overrightarrow{AM}\in\vec{F_1}\subset\vec{F_2}$ et $\overrightarrow{BM}\subset\vec{F_2}$. On en déduit que
$\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{MA}\in\vec{F_2}$. Ainsi, $A$ est élément de $F_2$. Cela devrait te suffire pour conclure que $F_1\subset F_2$.

2) L'existence d'une droite, c'est facile (elle passe par $A$ et a pour vecteur directeur...). Pour l'unicité de cette droite, tu peux utiliser la question précédente.

F.

Merci beaucoup !