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Edison11

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Exercice sur les Applications

Bonsoir j'aurai besoin d'aide pour un exercice :

Soit d : ℕ ---> ℕ l'application double et m : ℕ ---> ℕ     (division entière) l'application
                                                                n ---> n/2
moitié. Sont-elles injectives, surjectives, bijectives? Mêmes questions pour d o m et m o d.

Ce que j'ai répondu :

1. L'application d est injective car tous les éléments de l'ensemble d'arrivé ont au plus un antécédent. Mathématiquement parlant cela signifie que :

∀n, n'∈ℕ d(n)=d(n') ==> 2n = 2n'

<=> ∀n∈ℕ, d(n)=2n

(La justification est-elle bonne ?)

2. Concernant m (ce n'est pas une application si ?) car tous les éléments de l'ensemble de départ n'ont pas forcément d'image...

Concernant d o m :

Ddom = {n∈Dm / m(n)∈Dd} = {n∈N / m(n)∈N)

D'ou on a     d o m : N ---> N
                             n ---> 2(n/2) <=> n

Ca correspond à l'application identité qui est bijective

3. Maintenant pour pour m o d :

Dmod = {n∈Dd / d(n)∈Dm} = {n∈N / d(n)∈Dm}

d'ou on a  m o d : N ----> N
                           n -----> (2n)/2 <=> n

Là encore on a à faire a l'application identité qui est bijective.

Les réponses sont-elles correctes ? Les justifications sont-elles bonnes ? Merci d'avance!

Fred

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Re : Exercice sur les Applications

Bonsoir j'aurai besoin d'aide pour un exercice :

Soit d : ℕ ---> ℕ l'application double et m : ℕ ---> ℕ     (division entière) l'application
                                                                n ---> n/2
moitié. Sont-elles injectives, surjectives, bijectives? Mêmes questions pour d o m et m o d.

Ce que j'ai répondu :

1. L'application d est injective car tous les éléments de l'ensemble d'arrivé ont au plus un antécédent. Mathématiquement parlant cela signifie que :

∀n, n'∈ℕ d(n)=d(n') ==> 2n = 2n'

<=> ∀n∈ℕ, d(n)=2n

(La justification est-elle bonne ?)

Je ne comprends pas ta dernière équivalence...
Tout simplement, tu dis que 2n=2n' entraîne n=n' et donc $d$ est injective.

2. Concernant m (ce n'est pas une application si ?) car tous les éléments de l'ensemble de départ n'ont pas forcément d'image...

Si j'ai bien compris l'énoncé, c'est bien une application : l'image de 3 est 1 par exemple (on parle de division entière, je pense que tu dois interpréter cela comme le quotient de n par 2).
Du coup, cela change aussi la suite.....

F.

Edison11

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Re : Exercice sur les Applications

Bonsoir j'aurai besoin d'aide pour un exercice :

Soit d : ℕ ---> ℕ l'application double et m : ℕ ---> ℕ     (division entière) l'application
                                                                n ---> n/2
moitié. Sont-elles injectives, surjectives, bijectives? Mêmes questions pour d o m et m o d.

Ce que j'ai répondu :

1. L'application d est injective car tous les éléments de l'ensemble d'arrivé ont au plus un antécédent. Mathématiquement parlant cela signifie que :

∀n, n'∈ℕ d(n)=d(n') ==> 2n = 2n'

<=> ∀n∈ℕ, d(n)=2n

(La justification est-elle bonne ?)

Je ne comprends pas ta dernière équivalence...
Tout simplement, tu dis que 2n=2n' entraîne n=n' et donc $d$ est injective.

2. Concernant m (ce n'est pas une application si ?) car tous les éléments de l'ensemble de départ n'ont pas forcément d'image...

Si j'ai bien compris l'énoncé, c'est bien une application : l'image de 3 est 1 par exemple (on parle de division entière, je pense que tu dois interpréter cela comme le quotient de n par 2).
Du coup, cela change aussi la suite.....

F.

Ahh mrc bcp j'ai complètement oublié que c'était une division entière, c'est pourtant clairement écrit ><