Forum de mathématiques - Bibm@th.net

carbon903

Membre

Inscription : 03-12-2017

Messages : 2

Trouver la suite de matrice M^n

Bonjour,

alors, j'ai une matrice 3X3 :
        0     ;   a    ;   1-a
M=   1-b  ;   0    ;   b
        c     ;  1-c   ;   0
et je cherche à en déduire l'écriture de la suite de matrice M^n

J'ai calculé M^2 qui me donne :
a(1-b)+c(1-a)  ;  (1-a)(1-c)       ;   ab
bc                   ;  a(1-b)+b(1-c)  ;  (1-a)(1-b)
(1-b)(1-c)        ;  ac                   ;  b(1-c)+c(1-a)

mais je ne vois toujours rien. Lorsque je calcule M^3, je vois le déterminent qui apparaît dans la diagonale...
Mais bon, je suis bloqué.
Quelqu'un pourrait m'aider, s'il vous plait

Merci :)

Roro

Membre expert

Inscription : 07-10-2007

Messages : 1 801

Re : Trouver la suite de matrice M^n

Bonsoir,

A première vue, et sans trop réfléchir je te proposerai de diagonaliser ta matrice. Je ne sais pas si c'est simple ici mais si tu sais la diagonaliser, il sera en suite facile de calculer $A^n$.

Mais la matrice étant un peu particulière, il y a peu être une astuce... par exemple en Utilisant Cayley-Hamilton et en calculant les invariants (la trace est clairement nulle...)

Roro.

Dernière modification par Roro (03-12-2017 23:17:26)

Yassine

Membre

Inscription : 09-04-2013

Messages : 1 090

Re : Trouver la suite de matrice M^n

Bonjour,
Je pense comme Roro.
Un peu d'aide pour que tu explores à l'aide de calcul formel sous Python.
Tu peux exécuter ce code en ligne à l'adresse live.sympy.org

x, a, b, c = symbols('x a b c')
M = Matrix([[0, a, 1-a], [1-b, 0, b], [c, 1-c, 0] ])
I = Matrix([[1, 0, 0], [0, 1, 0], [0, 0, 1] ])
A = M - x*I

#polynome caracrétristique det(M-xI)
Poly = collect(A.det(),x)

# diagonalisation M=PDP^-1
P,D = M.diagonalize()

# Ensuite, pour afficher une variable, il suffit de taper son nom, exemples, une puissance de M
M**3
 

carbon903

Membre

Inscription : 03-12-2017

Messages : 2

Re : Trouver la suite de matrice M^n

je pensais aussi passer par une diagonalisation mais ils souhaitent que je generalise puis que je trouve la matrice de passage permettant de diagonaliser M.
sinon avec le theoreme de cayley-hamilton je trouve que :
M^3=M(1-a)+aId
avec a=ca+bc+ab-c-b-a+1
d'où, M^(n+2)=(1-a)M^n+aIdM^(n-1)

Yassine

Membre

Inscription : 09-04-2013

Messages : 1 090

Re : Trouver la suite de matrice M^n

Attention, tu utilises $a$ alors qu'il est déjà affecté. Tu devrais dire que $M^3=(1-\alpha)M +\alpha I$ avec
$\alpha=ca+bc+ab-c-b-a+1$ (qui vaut également $(1-a)(1-b)(1-c)$).