Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Etropal

Invité

Suite récurrente complexe avec du sinus

Bonjour,

j'étudie une suite définie ainsi [tex]a,b \in \mathbb{R},\text{et }|a| < 1\text{. } u_0 \in \mathbb{C}\text{, et }n \in \mathbb{N}, u_{n+1}=a\sin(u_{n}) + b[/tex]
Je souhaite montrer qu'elle converge, pour cela l'énoncé me propose de montrer que [tex]\forall n,\, |u_{n+1} - u_{n}|\le a^{n}|u_{1} - u_{0}|[/tex]
Je ne sais pas du tout comment montrer que les termes de la suite vérifient cette inégalité ce qui m'agace car j'ai l'impression que la solution est très simple.
Cependant même si j'avais réussi à démontrer cette inégalité, je ne comprend pas comment elle permet de conclure. Pour moi elle permet juste de montrer que [tex]\lim_{n \to \infty}|u_{n+1} - u_n| =0 [/tex] en utilisant un théorème d'encadrement mais cela ne justifie pas que la suite converge.
Je remercie par avance ceux qui essayeront de m'aider

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 352

Re : Suite récurrente complexe avec du sinus

Bonjour

Pour la première inégalité je la prouverais par récurrence en appliquant l'inégalité des accroissements finis à la fonction sinus.

Pour la deuxième partie connais-tu les suites de Cauchy ?

Fred

Etropal

Membre

Inscription : 01-09-2017

Messages : 2

Re : Suite récurrente complexe avec du sinus

Ah merci, effectivement je n'avais pas du tout pensé à utiliser l'inégalité des accroissements. Pour les suites de Cauchy je n'ai jamais utilisé cet argument mais il faut une première fois à tout.
Merci pour votre réponse très rapide

Jawad32

Invité

Re : Suite récurrente complexe avec du sinus

Bonsoir,
J'ai une remarque concernant l'énoncé, il manque le signe de la valeur absolue sur a, d'après l'énoncé $U_0$  est un complexe est donc comment peut on appliquer l'inégalité des AF

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 352

Re : Suite récurrente complexe avec du sinus

Ah oui, cela m'avais échappé! Mais alors cela devient faux. Un calcul numérique avec $u_0=1,\ a=0.5$ montre que $|u_1-u_0|\simeq 0.41$ alors que $|u_2-u_1|\simeq 0,28$ et donc on n'a pas $|u_2-u_1|\leq a |u_1-u_0|$.

F.

freddy

Membre chevronné

Lieu : Paris

Inscription : 27-03-2009

Messages : 7 457

Re : Suite récurrente complexe avec du sinus

Salut,

à mon avis, il faut commencer par transformer le sinus d'un nombre complexe en une somme de produit de sinus, cosinus, sh et ch ...

Dernière modification par freddy (07-09-2017 11:38:27)