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raphael.cr

Invité

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salut, j'ai besoin de votre aide pour resoudre ces deux questions :
1) Soit G le sous groupe de $SL_2(R)$ (groupe speciale lineaire forme des matrices triangulaires superieurs.
Trouver tous les sous-groupes de G d'ordre fini.
2) Prouver que $(Z/2Z)^3 \ et \ Z/4Z \times Z/2Z$ sont non isomorphes.

Pour la premiere question j'ai raisonner de la facon suivante :
Soit H un sous-groupe de G d'ordre fini n et soit $X \in G.$ alors X s'ecrit sous la forme :
$X=\begin{pmatrix}q &k \\ 0 & \frac{1}{q} \end{pmatrix}.$
On connait que $X^n=I_2.$  d'ou il faut chercher $X^n$.
on peut prouver par reccurrence que pour tout $n \in N^*-{\left\{1 \right\}},$
$X^n=\begin{pmatrix}q^n &k \sum_{w=0}^{n-1}{q^{2w-n+1}} \\ 0 & \frac{1}{q^n} \end{pmatrix}$
Pour n=2;
$X^2=\begin{pmatrix}q^2 &kq+\frac{k}{q} \\ 0 & \frac{1}{q^2} \end{pmatrix},$ ce qui est vrai.
On suppose que $X^n=\begin{pmatrix}q^n &k \sum_{w=0}^{n-1}{q^{2w-n+1}} \\ 0 & \frac{1}{q^n} \end{pmatrix},$
prouvons que $X^{n+1}=\begin{pmatrix}q^{n+1} &k \sum_{w=0}^{n}{q^{2w-n}} \\ 0 & \frac{1}{q^{n+1}} \end{pmatrix}$
$X^{n+1}=X^nX=\begin{pmatrix}q^n &k \sum_{w=0}^{n-1}{q^{2w-n+1}} \\ 0 & \frac{1}{q^n} \end{pmatrix}\begin{pmatrix}q &k \\ 0 & \frac{1}{q} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}q^{n+1} &kq^n+k \sum_{w=0}^{n-1}{q^{2w-n}} \\ 0 & \frac{1}{q^{n+1}} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}q^{n+1} &k \sum_{w=0}^{n}{q^{2w-n}} \\ 0 & \frac{1}{q^{n+1}} \end{pmatrix}$
on distingue deux cas si n est impair, alors $X^n=I_2$ donne q=1 et k=0. Donc $X=I_2$.
si n est pair alors $X \in \left\{I_2,-I_2 \right\}$
D'ou les sous groupes d'ordre fini de G sont $\left\{I_2,-I_2 \right\}$ et $\left\{-I_2 \right\}$.

ce raisonnement est-il correcte ? et pour la question 2 comment prouver que ces deux groupes sont non isomorphes?

merci d'avance.

Roro

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Re : groupe

Bonsoir,

J'ai pas le temps de regarder la question 1...
Pour la 2, regarde éventuellement l'ordre des éléments de chacun de tes deux groupes !

Roro.

Yassine

Membre

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Re : groupe

Bonsoir,
Moi, je n'ai pas compris le début du 1). D'où vient ce "alors $X=...$" pour un $X \in H$ (j'ai corrigé, tu as écris : soit $X\in G$).
D'autre part, tu écris que les matrices de $SL_2(\mathbb{R})$ sont triangulaires, pour moi, ce sont des matrices de déterminant $1$ non ?

Pour le 2), pareil que Roro. Les isomorphismes conservent l'ordre des éléments. Il faut montrer que ce n'est pas possible.

Fred

Administrateur

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Re : groupe

Bonsoir,

Pour Yassine : $G$ est le sous-groupe de $SL_2(\mathbb R)$ des matrices triangulaires supérieures, d'où la forme de la matrice $X$.

Je crois que le 1. est correct, si ce n'est qu'à la fin tu as écrit $\{-I_2\}$ au lieu de $\{I_2\}$.

F.

Yassine

Membre

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Re : groupe

My bad, j'avais mal lu !

Raphael.cr

Invité

Re : groupe

Bonsoir, G est un sous groupe de $SL_2(R)$ et G est formé de des matrices triangulaires sup.
Et à la fin, j'ai fait une faute de dictée. Je veux ecrire {$I_2$}.
Mais ce qui m'interesse si la methode est correcte
Et pour la deuxieme question il existe un element de$Z/4Z \times Z/2Z$ est 4 et l'ordre max d'un element de Z/2Z est 2, alors pouvez vous m'expliquer pourquoi ces deux groupes sont non isomorphes?

Raphael.cr

Invité

Re : groupe

Excusez moi je veux dire $(Z/2Z)^3$ et pas Z/2Z

Fred

Administrateur

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Re : groupe

Re-

  Parce qu'un isomorphisme conserve l'ordre des éléments d'un groupe.

F.

raphael.cr

Invité

Re : groupe

Alors, Soit $f \in Hom(Z/4Z \times Z/2Z;(Z/2Z)^3) \ et \ x \in (Z/2Z)^3,(\bar{1};\bar{1})$ est d'ordre 4 dans $Z/4Z \times Z/2Z$,et $o(x) \in \left\{1;2 \right\},$ d'où $o(x)<4,$ et alors f n'est pas injectif, d'où il n'y a aucun isomorphisme entre ces deux groupes.

La preuve se fait-elle de cette manière?

Yassine

Membre

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Re : groupe

Le cheminement est : supposons $f$ isomorphisme. $(1,1) \in Z/4Z \times Z/2Z$ est d'ordre 4, donc $f((1,1)) \in (Z/2Z)^3$ est d'ordre 4 (conservation de l'ordre par un isomorphisme) , contradiction car l'ordre maximal des éléments de $(Z/2Z)^3$ est 2.

raphael.cr

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Re : groupe

merci beaucoup pour votre aide!!