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hichem

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séries de fonctions

Bonsoir !

je vien de lire la solution d'un exercice, et j'arrive pas a comprendre une chose,
aprés avoir étudier la convergence normal d'une série, et prouver qu'elle est normalement convergente sur [tex]\mathbb{R}^{*}_{+}[/tex]
il cherche a étudier la convergence uniforme sur [tex]\mathbb{R}_{+}[/tex], mais dans la solution il ecrit :

[tex]\forall  x \in \mathbb{R}^{*}_{+} [/tex]
et puis il ecrit la formule du rest [tex]R_{n}(x)[/tex]
et il fais l'etude sur [tex]\mathbb{R}^{*}_{+}[/tex] pui il en deduit qu'elle n'ai pas uniformement convergente sur [tex]\mathbb{R}_{+}[/tex]
il n'aurai pas du faire l'etude sur [tex]\mathbb{R}_{+}[/tex] ?

merci d'avance

Fred

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Re : séries de fonctions

Bonjour,

  Si on démontre que la série n'ait pas uniformément convergente sur $\mathbb R_+^*$, alors elle n'est pas uniformément convergente sur $\mathbb R_+$!

F.

hichem

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Re : séries de fonctions

bonjour

oui je comprend ça, mais il as demontrer qu'elle est normalement convergente sur [tex]\mathbb{R}^{*}_{+}[/tex]
cela n'implique pas la convergence uniforme ?

merci.

Fred

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Re : séries de fonctions

Si, la convergence normale sur $\mathbb R_+^*$ entraine la convergence uniforme sur ce même intervalle.
Et de plus, si les fonctions sont continues, la convergence normale sur $\mathbb R_+^*$ entraîne la convergence normale sur $\mathbb R_+$.

Pourrais-tu nous donner des précisions sur l'exercice?

F.

hichem

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Re : séries de fonctions

Bonsoir.

voici l'énoncé de l'exercice :
Etudier la série
[tex]F_{n} : \mathbb{R_{+}} \longrightarrow \mathbb{R}[/tex]           
[tex]F_{n}(x) = x^2e^{-x\sqrt{n}}[/tex]
cette série converge simplement vers 0 pour [tex]x \in \mathbb{R^*_{+}}[/tex]  fixé.
et [tex]\|F_{n}\|_{\infty} = \frac{4}{e^2n}[/tex]
donc elle ne converge pas normalement sur [tex]\mathbb{R_{+}}[/tex]
et donc, pour [tex] a > 0 [/tex] [tex]\exists N \in \mathbb{N}[/tex] tel que :
[tex]\forall n >= N[/tex]  [tex]{\|F_{n}\|_{\infty}}_{[a;\infty[ } = F_{n}(a)[/tex]
et aprés ça il a fais l'etude concernant la convergence uniforme.

merci !

Fred

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Re : séries de fonctions

Je pense que tu as confondu la convergence normale sur tout intervalle du type $[a,+\infty[$ avec la convergence normale sur $\mathbb R_+^*$. Ce n'est pas la même chose!

hichem

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Re : séries de fonctions

bonsoir,

pouriez vous m'expliquer la difference svp ?

Fred

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Re : séries de fonctions

cf ma réponse dans cette autre discussion.