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convergence

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Condition nécéssaire et suffisante pour la continuté

Bonsoir, j'ai besoins de votre aide pour trouver la condition pour que la fonction $f_A:E\rightarrow \mathbb{R}$ définie par

[tex]f_A=\begin{cases} 1, ~~, x\in A\\ 0,~~,x\notin A\end{cases}[/tex]

j'ai trouver que $A\subset E$ doit etre ouvert et fermé, mais je ne sais pas comment le démontrer .

Si je suppose que $f_A$ est continue, alors

[tex]\forall \varepsilon, \exists V\in \mathcal{V}_x, f_A(V)\subset ]f_A(x)-\varepsilon,f_A(x)+\varepsilon[[/tex]

Si [tex]x\in A[/tex] alors [tex]f_A(x)=1[/tex] donc par continuité pour tout [tex]\varepsilon>0[/tex] il exist un voisinage [tex]V[/tex] tel que [tex]f_A(V)\subset]1-\varepsilon,1+\varepsilon[[/tex] , comment arriver au fait que [tex]A[/tex] est fermé et ouvert.

Merci

Dernière modification par convergence (03-03-2017 20:11:22)

Yassine

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Re : Condition nécéssaire et suffisante pour la continuté

Bonsoir,
Comment as-tu fait pour "trouver" que $A$ est à la fois ouvert et fermé ?

Indication : Tu peux remarquer que $A=f^{-1}(\{1\})$, $E\setminus A=f^{-1}(\{0\})$ et que $\{1\}$ et $\{0\}$ sont des fermés ...

convergence

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Re : Condition nécéssaire et suffisante pour la continuté

dans un bouquin , mais il n' y a pas de démonstration .

J'ai compris, et si je suppose que $A$ est ouvert et fermé comment montrer que $f_A$ est continue ?

Merci

Dernière modification par convergence (04-03-2017 21:51:14)

Yassine

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Re : Condition nécéssaire et suffisante pour la continuté

dans un bouquin , mais il n' y a pas de démonstration .

J'ai compris, et si je suppose que $A$ est ouvert et fermé comment montrer que $f_A$ est continue ?

Merci

Tu prends un ouvert $\mathcal{O}$ de $\mathbb{R}$ et tu montres que $f^{-1}(\mathcal{O})$ est un ouvert. Tu raisonneras en fonction de l'appartenance $0,1 \in \mathcal{O}$ ou pas.

Dernière modification par Yassine (03-03-2017 21:58:36)

convergence

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Re : Condition nécéssaire et suffisante pour la continuté

On peut faire comme cela:  Si [tex]$x\in A$[/tex] comme [tex]$A$[/tex] est ouvert lors[tex] $A$[/tex] est un voisinage de [tex]x[/tex] , et [tex]f_A(x)=1[/tex], donc [tex]\forall \varepsilon>0, \exists V=A\in\mathcal{V}_x, f_A(x)=1\in ]1-\varepsilon,1+\varepsilon[[/tex]

d’où l continuité de [tex]f_A[/tex] en chaque [tex]x\in A[/tex] et je refais la mème chose pour [tex]x\notin A[/tex]

Qu'en pensez-vous ?

Yassine

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Re : Condition nécéssaire et suffisante pour la continuté

Oui, tu peux faire comme ça.

Ce que je te suggérais, c'est d'utiliser la définition suivante de la continuité :
$f: E \to F$ est continue sur $E$ si l'image réciproque de tout ouvert de $F$ et un ouvert de $E$.

Dans ton cas, si tu prends un ouvert $\mathcal{O}$ de $\mathbb{R}$, il n'y a que 4 cas possible pour $f^{-1}(\mathcal{O})$ : $\emptyset$, $E$, $A$ et $E\setminus A$, qui sont tous ouverts.

P.S. Je te conseille d'appuyer d'abord sur le bouton 'Prévisualisation' pour vérifier que ton post est correct avant de le valider. Ici, ça reste lisible, mais le précédent était assez illisible.