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#2 03-03-2017 07:12:52
- Fred
- Administrateur
- Inscription : 26-09-2005
- Messages : 7 352
Re : matrices
Bonjour,
Il y a plusieurs façons de s'y prendre, mais toutes utilisent à un moment où un ordre le fait que pour un endomorphisme d'un espace de dimension finie, il y a équivalence entre être injectif et être bijectif. Ici, de l'égalité $AB=I_n$, tu peux déduire (cela n'utilise pas le résultat précédent) que $B$ est injectif et $A$ est surjectif. Tu en déduis donc que $A$ est aussi injectif, et $BA$ est injectif comme composée d'applications injectives. Il vient alors :
$$(BA)^2=BABA=BA\implies (BA)(BA-I_n)=0.$$
Par injectivité de $BA$ (ce qui signifie que $BA$ est inversible à gauche), on en déduit que $BA-I_n=0$.
F.
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#3 03-03-2017 07:42:45
- ade
- Membre
- Inscription : 13-11-2016
- Messages : 36
Re : matrices
Bonjour mon frère...
pour ton exo voici ce que je propose,
rappel de logique ( P impliq Q) pour demontrer cela on suppose P et on demontre Q.
Soit A et B deux matrices tel que A appartient a Mn,p et B appartient a Mp,q ( ceci pour que le produit puisse etre possible)
Supposons A.B=In
A.B=In implik B.AB=B.In
implik B.AB.B^-1=B.In.B^-1
implik B.A.In=B.B^-1 car B.B^-1=In et In.B^-1=B^-1
implik B.A = In car B.A.In=B.A et B.B^-1=In
CQFD
Bonne lecture a tw.
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