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#1 26-02-2017 15:48:01
- Nova
- Membre
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- Messages : 3
Limite uniforme fonctions lipschitziennes
Bonjour à tous !
J'aurais besoin d'aide pour montrer qu'une suite de fonctions (fn) M-Lipschitziennes converge uniformément vers f sur un compact. J'ai déjà montré que la limite simple de cette suite était M-Lipschitzienne et que pour tout n, fn-f est 2M-Lipschitzienne. J'ai ensuite essayé de calculer le supremum de fn-f mais je ne vois pas comment le faire tendre vers 0.
Merci d'avance pour votre aide.
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#2 26-02-2017 18:25:22
- Fred
- Administrateur
- Inscription : 26-09-2005
- Messages : 7 352
Re : Limite uniforme fonctions lipschitziennes
Bonjour,
Tu as $\varepsilon>0$ fixé, et tu considères un nombre fini de points $x_1,\dots,x_p$ de ton compact $K$ tel que $K$ est inclus dans la réunion des boules $B(x_i,\varepsilon/M)$. Pour chaque $x_i$, tu sais que tu as convergence simple donc qu'il existe un $N_i$ tel que, pour tout $n\geq N_i$, $|f(x_i)-f_n(x_i)|<\varepsilon$. Tu poses $N=\max_i N_i$, et tu prends un $x$ quelconque de $K$. Tu essaies ensuite de majorer, pour $n\geq N$, $|f(x)-f_n(x)|$ en passant par $x_i$, où $x\in B(x_i,\varepsilon/M)$. Tu pourras alors utiliser que $f$ et $f_n$ sont $M$-lipschitziennes pour majorer $|f(x)-f(x_i)|$ par exemple....
F.
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#3 26-02-2017 20:53:29
- Nova
- Membre
- Inscription : 26-02-2017
- Messages : 3
Re : Limite uniforme fonctions lipschitziennes
Alors j'ai commencé à y réfléchir mais ça ne m'amène pas très loin.
Pour majorer j'ai essayer d'écrire |f(x)-fn(x)|<|f(x)-f(xi)|+|f(xi)-fn(x)|<M|x-xi|+|f(xi)-fn(x)|
Après si on peut choisir xi proche x on a M|x-xi| qui s'annule mais après je ne vois plus comment avancer.
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