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Majorana

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Indicatrice d'Euler

Bonjour à tous,

Je voudrais votre aide pour répondre à cette question qui se trouve à la fin d'un problème sur l'indicatrice d'Euler (niveau mpsi).

Soit [tex]n\in \mathbb{N}^*[/tex]. Dans un repère orthonormé (0;I,J), on considère les points
[tex]A_0(0,n); A_1(1,n), \dots ,A_{n-1}(n-1,n)[/tex].

Quel est le nombre se segments (ouverts) [tex]]OA_k[[/tex], où [tex]k\in [[0; n-1]][/tex], qui ne contiennent pas de points à coordonnées entières?

Autre formulation: un chasseur est assis au point [tex]O(0,0)[/tex] dans une forêt où les arbres sont placés aux points à coordonnées entières. Des lapins sont placés aux points [tex]A_0, A_1,  \dots A_{n-1}[/tex]. Combien de lapins le chasseur peut-il atteindre?

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En faisant une figure je conjecture que ce nombre est [tex]\phi(n)[/tex] où [tex]\phi[/tex] est l'indicatrice d'Euler. Malheureusement, je n'ai pas réussi à démontrer la conjecture.

Merci d'avance pour votre aide :-).

Dernière modification par Majorana (22-01-2017 18:48:38)

Yassine

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Re : Indicatrice d'Euler

Bonjour,
Si tu dessines le triangle $OA_0A_k$ et que tu supposes qu'il existe un point $M$ de coordonnées entières $(p,q)$ sur le segment $(OA_k)$, alors, à l'aide de Thalès, tu dois pouvoir exprimer des relations intéressantes entre les différentes quantités $n,k,p$ et $q$.

Majorana

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Re : Indicatrice d'Euler

Bonjour,

Merci pour ta réponse. Thalès ne m'a rie donné, par contre j'ai écris l'équation cartésienne de la droite [tex](OA_k)[/tex] ce qui donne [tex]nx-ky=0[/tex] et dire que [tex]M(p;q)\in (OA_k)[/tex] est équivaut à dire [tex]np=kq[/tex].

Malheureusement, je ne vois pas comment faire le lien avec ma question :-)

Dernière modification par Majorana (22-01-2017 19:30:09)

Yassine

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Re : Indicatrice d'Euler

C'est la même chose que tu aurais obtenue en appliquant Thalès !
Il te manque une précision importante : $0 < p < k$ et $0 < q < n$ (il s'agit du segment ouvert $(OA_k)$).
Tu peux écrire ta relation comme $\dfrac{k}{n}=\dfrac{p}{q}$. La fraction $\dfrac{k}{n}$ est donc réductible ...

Majorana

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Re : Indicatrice d'Euler

C'est la même chose que tu aurais obtenue en appliquant Thalès !
Il te manque une précision importante : $0 < p < k$ et $0 < q < n$ (il s'agit du segment ouvert $(OA_k)$).
Tu peux écrire ta relation comme $\dfrac{k}{n}=\dfrac{p}{q}$. La fraction $\dfrac{k}{n}$ est donc réductible ...

Donc [tex]M\not\in (OA_k)[/tex] est équivaut à [tex]\dfrac{k}{n}[/tex] est irréductible.

Merci pour tout, je vois la suite :-)