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tina

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Théorème de Riesz

Bonjour,
le théorème de Riesz dit ceci:
$$\forall L \in H', \exists ! u \in H: L(v)= <u,v>_{H}, \forall v \in H,$$
avec $H$ un espace de Hilbert.

Je lis que par le théorème de Riesz, on déduit que $H'=H$ (c'est à dire qu'un espace de Hilbert est identique à son dual).

Ma question est: comment on déduit que $H'=H$ du théorème de Riesz? S'il vous plaît.
Je vous remercie par avance pour votre aide.

Fred

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Re : Théorème de Riesz

Bonjour,

  Le théorème de Riesz peut se réécrire sous la forme suivante : l'application $H\to H'$, qui à $u\in H$ associe
la forme linéaire $\phi_u$ définie par $\phi_u(v)=\langle u,v\rangle$, est bijective. C'est en cela que l'on dit que $H=H'$.

F.

tina

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Re : Théorème de Riesz

S'il vous plaît, comment s'expliquer à soi même de manière simple et efficace que si H est espace de Hilbert, alors H=H', mais que ça ne marche pas toujours sur les espaces de Sobolev car $H^{-m}=(H^m)'$, puisque h=H' repose sur un produit scalaire, et l'identification canonique repose sur un produit de dualité? Enfin je pense que c'est ça à peu près mais je n'arrive pas à comprendre ce point, et pourquoi on appelle $H^{-m}=(H^m)'$ l'identification canonique? S'il vous plaît.

Yassine

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Re : Théorème de Riesz

La question est un peu vague, voire impossible à répondre.
Restons d'abord dans le cadre d'un espace vectoriel $V$ de dimension finie. Dans ce cas, on sait que $V$ est isomorphe à son dual. Si on choisit une base $(e_1,\cdots,e_n)$, alors la base duale $(e^1,\cdots,e^n)$ des formes linéaires définie par $e^i(e_j)=\delta^i_j$ est une base de $V^*$ et on peut construire un isomorphismes entre $V$ et $V^*$. Cette construction est néanmoins complètement dépendante du choix de la base $(e_1,\cdots,e_n)$ est n'est donc pas canonique. On n'identifiera donc pas l'espace vectoriel $V$ avec son dual.

Dans le cas de la dimension infinie, on n'a pas d'isomorphisme (toute application linéaire de $V \to V^*$ est non surjective, cf. Théorème de d'Erdős-Kaplansky)

Dans le cas des espace hilbertiens de dimension infinie, l'espace dual dont on parle est le dual topologique, qui est un peu "plus petit" que le dual algébrique puise qu'on ne considère que les formes linéaires continues. Dans ce cas, le théorème de Riesz donne un isomorphisme canonique entre $H$ et son dual topologique $H'$.

Donc, vu avec le filtre de la structure hilbertienne (espace vectoriel, produit scalaire et topologie issue de ce produit scalaire), rien ne distingue $H$ de $H'$. Toute propriété démontrée sur $H$ sera "transportée" automatiquement vers $H'$. Même si d'un point de vue strict, les ensembles $H$ et $H'$ sont différents ($H'$ est un ensemble de formes linéaires continues qui s'appliquent au éléments de $H$), on convient d'identifier $H$ et $H'$.

Un exemple est l'inclusion $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}$.
$\mathbb{Z}$ est construit à partir de $\mathbb{N}\times\mathbb{N}$ quotienté par une relation d'équivalence $(n_1,n_2) \sim (m_1,m_2) \Leftrightarrow n_1+m_2=m_1+n_2$.
Donc $\mathbb{Z} = \mathbb{N}\times\mathbb{N}/\sim$.
Les éléments de $\mathbb{Z}$ sont donc différents de ceux de $\mathbb{N}$. On remarque néanmoins que rien ne distingue, du point de vue des opération $+$ et $\times$ un élément de $n  \in \mathbb{N}$ et la classe d'équivalence de $(n,0)$ et injecte canoniquement $\mathbb{N}$ dans $\mathbb{Z}$

Pour ton autre question, je ne vois pas ce qu'est l'identification canonique des espaces de Sobolev.