distributions à support compact

tina · 08-01-2017 20:52:10

Bonjour,
j'ai le théorème suivant: on note $\mathcal{E}''(\Omega)$ l'espace des distributions à support compact dans $\Omega$, et on pose $C^\infty(\Omega)= \mathcal{E}(\Omega)$. On a:
1. Si $T \in \mathcal{E}''(\Omega)$, alors $T$ est d'ordre fini.
2. Si $m$ est l'ordre de $T \in \mathcal{E}''(\Omega)$, alors quelque soit le voisinage compact $K$ de $Supp T$, il exist une constante $c\geq 0$ t.q
$\forall \phi \in D(\Omega): |<T,\phi>| \leq C P_{K,m}(\phi)$

La démonstration que je trouve est la suivante:
Soit $K_0$ un voisinage de $Supp T$, et soit $\chi \in \mathcal{D}(\Omega)$ t.q: $Supp \chi \subset K_0$ et \$chi=1$ sur V(Supp T)
Soit $\phi \in D(\Omega)$. On a:
$(1-\chi)\phi \in D(\Omega)$ et $(1-\chi)\phi=0$ au voisinage de Supp T
ce qui implique que <T,(1-\chi)\phi>=0 et donc <T,\phi>=<T,\chi \phi>
et puisque $T \in D'$, alors il existe $c \geq 0$ et m t.q
$|<T,\varphi>| = |<T,\chi \phi>| \leq c P_{K_0,m}(\chi \phi)$
et par la loi de Lipschitz,
$\leq C' P_{K_0,m}(\phi)$
on a
$P_{K_0,m}(\phi) \leq C P_{K,m}(\phi)$
m dépend de $K_0$ mais ne dépend pas de$K$.

Voila ma question s'il vous plait, pourquoi l'introduction de $K_0$ et de $\chi$? Et je ne comprend pas cette lois de Shcwartz appliquée ici. Aidez moi s'il vous plaît à comprendre comment on démontre ce théorème de manière simple et logique s'il vous plaît.
Je vous remercie par avance.

Dernière modification par tina (08-01-2017 22:28:52)

tina · 08-01-2017 22:30:52

Ok, alors si j'utiise seulement les hypothèses. On suppose que $T \in E'(\Omega)$: une distribution à support compact, et soit un compact $K$ t.q $Supp T \subset K$ (K est un compact voisinage de Supp T).
L'objectif est de montrer que T est continue et d'ordre fini, i.e il existe c>=0 et m\in N: |<T,\phi>| \leq C P_{K,m}(\phi)

Alors je commence naturrelement par soit \phi \in D(\Omega), mais je bloque complétement car on n'a pas l'expression explicite de <T,\phi>. Et je ne pense pas à faire intervenir $K_0$ et la fonction particulière $\chi$. Pouvez vous s'il vous plaît m'aider à comprendre ce choix?
Je vous remercie pour votre aide.

Dernière modification par tina (08-01-2017 22:50:14)

Yassine · 09-01-2017 12:37:52

Ici, il y a des plusieurs subtilités à bien comprendre avant :
- La notion de support d'une distribution : Comme on ne peut pas parler de la valeur d'une distribution en un point, on adopte un autre point de vue : $Supp(T)$ est défini comme le plus petit fermé $F$ en dehors duquel la restriction de $T$ est nulle : $T|_{\Omega \setminus F} = 0$. On montre alors les deux propriétés suivantes :
1- $T|_{\Omega \setminus Supp(T)} = 0$.
Cette propriété n'est pas si trivial que ça vu sur $Supp(T)$ est définit via une intersection (le plus petit fermé...). Elle utilise le principe de recollement.
2- Pour toute fonction test $\varphi \in \mathcal{D}(\Omega)$, $Supp(\varphi) \cap Supp(T) = \emptyset \implies \langle T,\varphi \rangle = 0$.
Il y ici une subtilité à bien comprendre :
$\varphi$ nulle sur Supp(T) n'implique pas que $Supp(\varphi) \cap Supp(T) = \emptyset$.
Suppose par exemple que $Supp(T)=\{x_0\}$ (masse de Dirac) et $\varphi$ telle que $\varphi(x_0)=0$ mais que $\varphi$ n'est pas nulle sur un voisinage de $x_0$, alors $x_0 \in Supp(\varphi)$, et comme il est également dans $Supp(T)$, alors $Supp(\varphi) \cap Supp(T) = \{x_0\} \neq \emptyset$

- Le fait qu'une distribution à support compact puisse être appliquée à un ensemble plus grand que les fonctions tests. Il faut donc préciser à chaque fois si $\varphi$ est à support compact (élément de $\mathcal{D}(\Omega)$) ou plus générale (éléments de $C^\infty(\Omega)$. Le fait que la distribution est à support compact fait qu'elle "ignore" ce qui se passe en dehors de son support.

PTRK · 09-01-2017 13:20:44

Yassine a écrit :

$\varphi$ telle que $\varphi(x_0)=0$ mais que $\varphi$ n'est pas nulle sur un voisinage de $x_0$, alors $x_0 \in Supp(\varphi)$

Mais dire que $\phi$ appartient à $\mathcal D(\Omega)$ ne veut-il pas dire que justement si on a $x_0$ tel que $\phi(x_0)=0$ alors il existe un voisinage de $x_0$ tel que $\phi(V_{x0})=0$ ? Je pose la question car j'aimerai bien me remettre au niveau.

Dernière modification par PTRK (09-01-2017 13:21:57)

Yassine · 09-01-2017 14:02:49

Non.
Prends la fonction $\varphi(x)=x\chi(x)$ où $\chi$ est une fonction plateau qui vaut $1$ sur $[-1,1]$ et à support dans $[-2,2]$ par exemple. Alors, $\varphi(0)=0$ et $\forall x \in [-1,0[ \cup ]0,1], \varphi(x)=x \neq 0$.

Par contre, tu as la propriété (liée à la continuité) que si $\varphi(x_0) \neq 0$, alors il existe un voisinage $V$ de $x_0$ tel que $\varphi$ est non nulle sur $V$.

tina · 09-01-2017 14:04:21

S'il vous plaît est-ce qu'il y a une manière simple et logique pour faire cette preuve? S'il vous plaît. Pour que je puisse comprendre étape par étape de manière naturelle?

Yassine · 09-01-2017 14:10:59

laquelle ?

PTRK · 09-01-2017 14:33:36

@Yassine.
Merci, en effet, je visualise mieux ça. Et merci aussi pour le 2eme point, c'est à ca que je devais penser. Fin de la parenthèse.

tina · 09-01-2017 14:48:44

Je veux dire, comment montrer de manière simple que si $T \in E'$, alors elle est continue et d'ordre fini? Car je n'arrive pas à comprendre la preuve que j'ai écrit, pourquoi l'utilisation de $K_0$ et de $\chi$? Tout ça je ne comprend pas. aidez moi s'il vous plaît en m'expliquant si possible la preuve par étape.
Merci pour votre aide

tina · 09-01-2017 15:49:51

La question est bien de montrer que si $T \in E'(\Omega)$, alots $T$ est co,ntinue et d'ordre $m$. Je souhaite oublier la démo que j'ai écrit car je n'y comprend strictement rien.
Puisque toute distribution à support compact est une distrubution, on a que quelque soit le compact $K$ il exist $c \geq 0$ et $m$ t.q $\forall \varphi \in \mathcal{D}_K(\Omega): |\langle T,\varphi \rangle| \leq C P_{K,m}(\varphi)$
Ma question est qu'est ce qui change puisque $T$ est à support compact? et pourquoi faire intervenir une fonction qui vaut $1$ sur le compact $K$? S'il vous plaît.
Merci d'avance.

Yassine · 09-01-2017 19:33:40

Ce qui change, c'est que quand $T$ est à support compact, on peut l'appliquer à des fonctions $\psi \in C^\infty(\Omega)$ et pas uniquement à des fonctions $\varphi \in \mathcal{D}(\Omega)$ (j'ai utilisé un symbole différent pour les distinguer).

Acte 1 : $T$ est une distribution à support compact, c'est donc en particulier une distribution, on sait donc l'appliquer à toutes les fonctions $\varphi \in \mathcal{D}(\Omega)$ et on a la propriété de continuité $\forall K, \forall \varphi \in \mathcal{D}_K(\Omega): |\langle T,\varphi \rangle| \leq C P_{K,m}(\varphi)$

Acte 2 : $T$ est à support compact. Donc, ce qui se passe en dehors de son support n'est pas important. On peut donc essayer de l'applicquer à un ensemble de fonctions plus général que les fonctions à support compact, à savoir $C^\infty(\Omega)$ tout entier (le support n'est plus obligé d'être compact).
La recette est simple, se ramener à quelque chose qu'on sait déjà faire. Donc, on part d'une fonction $\psi \in C^\infty(\Omega)$ et on veut construire une fonction dans $\mathcal{D}_{Supp(T)}(\Omega)$. Il ne faut pas oublier que $T$ n'est pas "sensible" à ce qui se passe en dehors de son support. On veut donc annuler la fonction $\psi$ en dehors d'un compact et garder ce qui se passe à l'intérieur de $Supp(T)$. On choisit donc une fonction plateau $\chi$ à support compact qui vaut $1$ sur un voisinage de $Supp(T)$, du coup, la fonction $\varphi = \psi\chi$ est à support compact et coïncide avec $\psi$ sur $Supp(T)$, et ce ce qui est important du point de vue de $T$.
On définit alors l'action de $T$ sur $\psi$ comme étant l'action de $T$ sur $\psi\chi$ :
$Action(T, \psi) := \langle T, \psi\chi\rangle$.
Pour ne pas alourdir les notations, on garde le même symbole : $Action(T, \psi) := \langle T, \psi\rangle$.

Acte 3 : On montre qu'en fait, cette définition ne dépend pas du choix particulier de la fonction $\chi$, dès lors que c'est une fonction plateau à support compact qui vaut $1$ sur $Supp(T)$. On a alors une définition correcte de l'action de $T$ sur une classe de fonction plus large.

Acte 4 : La propriété de continuité "standard" des distributions n'est à priori valable que lorsque $T$ est appliquée à une fonction test (à support compact).
La propriété dont tu parles concerne donc cette nouvelle définition de l'action de $T$ sur des fonction qui n'ont pas forcément un support compact. Il faut donc la démontrer.

Je n'aurais de meilleure démonstration que celle de ton cours.
Il faudrait que tu relises ce que j'ai écris et que tu vois si tu comprends les différentes subtilités.
Après, il faudra recopier un peu plus proprement la démonstration (tu fais pleins d'erreurs, des $i$ à la place de $j$, un $\mathcal{E}''(\Omega)$ à la place de $\mathcal{E}'(\Omega)$, des $\Omega_i \cup \Omega_j$ à la place des $\Omega_i \cap \Omega_j$, etc.). Tu vois bien qu'il faut être précis sur les objets qu'on manipule (le bouton "Prévisualisation" te montre ce que les autres vont voir).
Et après, tu m'indiqueras les étapes qui te posent problème.

tina · 12-01-2017 11:45:11

Bonjour,
j'ai essayé d'étudier attentivement leséléments de réponse que vous m'avez apporté. J'ai essayé aussi de refaire la preuve seule de manière logique, et je souhaite que vous donniez quelques remarques s'il vous plaît.
Soit $T \in \mathcal{E}'(\Omega)$. Celà signifie que $T$ est une distribution à supoort compact. Le fait que $T$ soit une distrubtion, nous donne que
quel que soit le compact $K$ de $\Omega$, il exist $c\geq 0$, il existe $m \in \mathbb{N}$ tels que quelque soit $\varphi \in \mathcal{D}(\Omega): |\langle T,\varphi \rangle| \leq C P_{K,m}(\varphi)$.
On va utiliser cette dérnière formule pour montrer que si on applique $T$ à une fonction de classe $C^\infty$, alors on aura aussi la continuité et un ordre fini.
Soit $\varphi \in C^\infty(\Omega)$. Afin d'utiliser le résultat de continuité de $T \in D'$, nous aller essayer d'écrire $\varphi$ en utilisant une fonction à support compact. Pour ça, on utilise une fonction plateau.
Soit $\chi \in \mathcal{K}(\Omega)$ tel que $K \subset Supp T$, et $\chi=1$ sur $K$.
On relarque que $\varphi(x)= \chi(x) \varphi(x) \in \mathcal{D}_K(\Omega)$. Alors on a:
\begin{align*}
|\langle T,\varphi\rangle| &= |\langle T,\chi \varphi\rangle|\\
& \leq C P_{K,m}(\varphi)
\end{align*}

1. Comment on peut en déduire que $|\langle T,\varphi \rangle| \leq C' P_{K,m}(\varphi), \ \forall \varphi \in C^\infty(\Omega)$?
2. Dans la preuve du cours, on utilise $K$ et $K_0$: $K$ un compact quelconque, et $K_0$ un compact voisinage de $Supp T$. Quel est l'interêt? et comment savoir si $m$ dépend de $K$ ou bien de $K_0$?
3. On dit que ça ne sert à rien de voir $T \in \mathcal{E}'(\Omega)$ en dehors de $Supp T$, celà veut dire que $\varphi$ ne dois pas être que dans $C^\infty$, elle doit satisfaire $Supp \varphi \subset Supp T$. Non? Et dans ce cas là, $\varphi$ devient à support compact. Je me trompe?
Merci pour votre aide.

Yassine · 12-01-2017 14:51:54

Comme je te l'ai indiqué sur d'autres posts, tu ne fais pas attention à ce que tu écris !
exemple :

tina a écrit :

On relarque que $\varphi(x)= \chi(x) \varphi(x) \in \mathcal{D}_K(\Omega)$. Alors on a:
\begin{align*}
|\langle T,\varphi\rangle| &= |\langle T,\chi \varphi\rangle|\\
& \leq C P_{K,m}(\varphi)
\end{align*}
1. Comment on peut en déduire que $|\langle T,\varphi \rangle| \leq C' P_{K,m}(\varphi), \ \forall \varphi \in C^\infty(\Omega)$?

Tu n'as qu'à poser $C'=C$ !
Bien sûr, ce n'est pas aussi simple, tu as fais une erreur une ligne plus haut en écrivant $|\langle T,\varphi\rangle| \leq C P_{K,m}(\varphi)$ au lieu de $|\langle T,\varphi\rangle| \leq C P_{K,m}(\chi\varphi)$

Il y a deux points importants dans la démonstration :
1- définir correctement le compact $K$ sur lequel la définition de continuité sera vérifiée.
Il faut d'abord bien noter la différence avec la condition de continuité "standard" d'une distribution :

Pour out compact $K$, on peut trouver une constante $C$ et un entier $m$ tels que, pour toute fonction test, bla bla.

Alors qu'ici, on dit

il existe un compact $K$, une constante $C$ et un entier $m$ tels que, pour tout fonction $C^\infty$, bla bla.

Ce qui est plus faible.

On va donc choisir le compact $K$ suffisamment grand pour qu'il contienne un ouvert qui contient $Supp(T)$ (on a besoin de définir la fonction plateau égale à $1$ sur un voisinage contenant $Supp(T)$) et borné, pour que ce soit un compact.

2- Comme tu l'a écris, on a $|\langle T,\varphi\rangle| \leq C P_{K,m}(\chi\varphi)$. La seule difficulté est de montrer qu'il existe une constante $\alpha$ telle que $P_{K,m}(\chi\varphi) \le \alpha P_{K,m}(\varphi)$. Ce qui s'obtient sans difficulté en utilisant la formule de Leibnitz.

tina · 12-01-2017 19:21:49

Avant d'écrire la dérnière version corrigée de mon raissonement, j'ai une question s'il vous plaît. On applique $T \in \mathcal{E}'(\Omega)$ à une fonction $\varphi \in C^\infty(\Omega)$. Pourquoi il faut ajouter que $Supp \varphi \subset Supp T$? Normlement, on ne devrait rien imposer au support de $\varphi$.S'il vous plaît, et quel est le lien avec le théorème qui dit que $\varphi=0$ au voisinage de $Supp T$ alors ça implique que $<T,\varphi>=0$?
Merci par avance pour votre aide.

Dernière modification par tina (12-01-2017 19:22:18)

Yassine · 12-01-2017 20:21:15

tina a écrit :

Pourquoi il faut ajouter que $Supp \varphi \subset Supp T$?

Je ne vois pas trop où on ajoute cette contrainte.
Si on l'ajoute, ça voudra dire que le support de $\varphi$ est compact (fermé inclut dans un compact) et on n'aura rien gagné de plus par rapport aux fonctions test normales.

tina a écrit :

quel est le lien avec le théorème qui dit que $\varphi=0$ au voisinage de $Supp T$ alors ça implique que $<T,\varphi>=0$?

Comme je ne vois pas trop où tu as vus le premier point, je ne peux pas répondre à ce second point.

tina · 12-01-2017 21:12:42

Alors voici la preuve. On commence par choisir un compact $K$ suffisemment grand pour qu'il contienne $Supp T$. Pourquoi? S'il vous plaît.

Ensuite, soit $\varphi \in C^\infty$, à partir de $\varphi$ on construit une fonction à support compact, et pour ça on utilise une fonction plateau: $\chi$ t.q $\chi=1$ au voisinage $K$. Ainsi, $\chi \varphi \in \mathcal{D}_K(\Omega)$. On a:
\begin{align*}
|\langle T,\varphi\rangle| &= |\langle T,\chi f\rangle |\\
& \leq C P_{K,m}(\chi \varphi)
\end{align*}
On a:
Par définition de $P_{K,m}$ et par Leibniz, que:
\begin{align*}
P_{K,m}(\chi \varphi) &= \sup_{x \in K,|\alpha| \leq m} |D^\alpha (\chi \varphi)|\\
&= \sup_{x \in K,|\alpha|\leq m} |\sum_{k=0}^{\alpha} \begin{pmatrix} &\alpha\\ &k \end{pmatrix} \chi^{(\alpha-k)} \varphi^{(k)}|
\end{align*}
et puisque $\chi=1$ sur $K$, on a
\begin{align*}
&= \sup_{x \in K,|\alpha|\leq m} |\sum_{k=0}^{\alpha} D^k \varphi|\\
& \leq c' P_{K_m}(\varphi)
\end{align*}
avec $C'= \begin{pmatrix} &\alpha\\ &k \end{pmatrix}$

Mais normalement, puisque $\chi=1$ au voisinage de $K$, alors $D^{\alpha}(\chi \varphi)= D^\alpha \varphi$ directement. Non?

Merci par avance pour votre aide.

Yassine · 13-01-2017 09:57:54

Dans la propriété de continuité "standard" d'une distribution, On peut majorer $<T,\varphi>$ sur un compact $K$ à condition que le support de $\varphi$ soit inclut dans $K$.

Ici, on va vouloir appliquer cette propriété à $\chi\varphi$ dont le support est (au plus) égal au support de $\chi$, qui est un compact contenant strictement $supp(T)$ (on veut que $\chi$ soit égale à $1$ sur un voisinage ouvert de $supp(T)$). Il faut donc que $K$ soit assez grand pour contenir le support de $\chi\varphi$ pour toute $\varphi \in C^\infty$, vu qu'on ne souhaite apporter aucune contrainte supplémentaire à $\varphi$).

L'autre point est un peu plus subtile. Imaginons une fonction $f \in C^\infty(\mathbb{R})$ égale à $1$ sur l'intervalle fermé $[-1,1]$.
Alors $\displaystyle \sup_{x \in [-1,1]}|f'(x)|$ n'est pas égal à $0$. Certes, $f'$ vaut $0$ sur l'intervalle ouvert $]-1,1[$, par contre, il n'y a pas de contrainte sur sa valeur en $1$ et en $-1$, et donc $\displaystyle \sup_{x \in [-1,1]}|f'(x)|=\max(|f'(1)|, |f'(-1)|)$.

Ici, on aura $\chi$ qui vaut $1$ sur un voisinage ouvert de $supp(T)$ et $K$ compact contenant le support de $\chi$ (pour qu'on puisse appliquer la propriété de continuité à $\chi\varphi$). Donc, il faut bien prendre en compte le phénomène que j'ai décrit plus haut. Dans ta démonstration, tu ne peux donc pas remplacer $\chi^{(n)}(x)$ par $0$ dans la formule de Lebnitz.
Cela dit, comme $\chi \in \mathcal{D}$, toutes ses dérivées sont bornées sur un compact. Il n'y a donc pas de difficulté particulière.

tina · 13-01-2017 10:46:30

Bonjour,
je pense que je me suis mal exprimé.
1. On choisit $\chi \in \mathcal{D}_K$, où $K \subset Supp T$. Pourquoi on impose à $K$ d'être inclus dans $Supp T$?
2. Ce n'est pas clair, puisque $\chi=1$ sur $K$ pourquoi on n'écrit pas que $\chi^{(n)}=0$?
Merci pour votre aide.

Yassine · 13-01-2017 13:19:41

1- Non, il y a deux contraintes sur le choix de $\chi$
(i)- $\chi \in \mathcal{D}(\Omega)$
(ii)- il existe un voisinage ouvert $V \supset supp(T)$ tel que $\chi(V)=\{1\}$.
On a donc l'inclusion inverse de cette que tu écris :
$supp(T) \subset V \subset supp(\chi) \subset \Omega$.

2- Je pense que je suis allé un peu trop vite et ai dit une bêtise sur l'exemple de la fonction $f$ que je t'ai donnée : comme $f'$ est continue, alors $f'(1) = \lim_{x \to 1^-} f'(x) = 0$.
Voici l'explication :
On choisis une fonction $\chi$ à support compact qui vaut $1$ sur un voisinage ouvert $V \supset supp(T)$ (choix obligé pour appliquer l'extension de la distribution $T$ aux autres fonctions) et on choisis $K$ compact tel que $supp(\chi) \subset K$ (choix obligé si on veut appliquer la propriété de continuité de $T$ à la fonction $\chi\varphi$). On a alors la chaine d'inclusion $supp(T) \varsubsetneq V \varsubsetneq supp(\chi) \subset K$.
Le point est que $\chi$ n'est pas constante sur $K$ mais uniquement sur une partie propre de $K$, à savoir $V$. Donc les dérivées de $\chi$ ne sont pas nulles sur $K$.

tina · 13-01-2017 13:26:44

et pourquoi il faut ajouter cette contrainte de $Supp T \subset V \subset Supp(\chi)$? S'il vous plaît

Yassine · 13-01-2017 13:45:39

Je l'ai dit juste avant !!!
Je le redis :
On doit choisir $\chi$ qui vaut $1$ sur un voisinage du support de $supp(T)$ (Pour montrer que l'extension aux fonctions $C^\infty$ ne dépend pas du choix de $\chi$, on a besoin de dire que si $\chi1-\chi2 = 0$ sur un voisinage de $supp(T)$, alors $<T,\chi1\varphi>=<T,\chi2\varphi>$. Si on se contente de $\chi$ égale à $1$ sur $supp(T)$, on a un problème, cf le contre-exemple).
Donc, si $V$ est un voisinage de $supp(T)$, alors l'inclusion est stricte : $supp(T) \varsubsetneq V$ ($V$ contient un ouvert qui contient $supp(T)$ et $supp(T)$ est un fermé).

Et si $\chi$ vaut $1$ sur $V$, par définition du support, $V \subset supp(\chi)$.

tina · 13-01-2017 21:31:04

Merci beaucoup pour toute votre aide. Donc, on n'a pas besoin d'un autre compact $K_0$. C'est bien ça?

2. Aussi, dans le théorème de mon cours, je pense qu'il y a une erreur. Ca devrait être: si $T \in \mathcal{E}'$, alors quelque soit le voisinage compact $K$ de $Supp T$, il exist $c \geq 0$ t.q
$$
\forall \varphi \in \mathcal{E}, |\langle T,\varphi \rangle | \leq C P_{K,m}(\varphi)
$$
c'est bien ça?
Merci par avance pour votre aide.

Dernière modification par tina (13-01-2017 22:40:58)

Yassine · 14-01-2017 18:09:37

Je ne vois ce qu'est $K_0$.

Pour ton autre question, non, ce n'est pas correct. Il faut dire : pour toute distribution $T \in \mathcal{E}'$, il existe un compact $K$ tel que pour toute fonction $\varphi \in C^\infty$, bla bla.

Conre-exemple de ce que tu dis :
$T = \delta_0$. On a alors $supp(T)=\{0\}$.
Je prends $K=[2,3]$ et $\varphi$ telle que $supp(\varphi)=[-1,1]$ et telle que $\varphi(0)=1$ (une telle fonction existe). Alors, $\varphi$ et toutes ses dérivées sont nulles sur $K$, donc $P_{K,m}(\varphi)=0$ pour tout $m$. Et pourtant $|\langle T,\varphi \rangle | = \varphi(0) > CP_{K,m}(\varphi)$ pour toute constante $C \le 0$.

tina · 14-01-2017 18:50:41

S'il vous plaît, et comment savoir si m dépend de K ou pas?

Yassine · 14-01-2017 19:58:38

Oui, il dépend de $K$. On l'a obtenu en appliquant la propriété de continuité de $T$ à la fonction $\chi\varphi$ à support dans $K$. On obtient donc un $p_K$ qui dépend du compact considéré.

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

#1 08-01-2017 20:52:10

distributions à support compact

#2 08-01-2017 22:30:52

Re : distributions à support compact

#3 09-01-2017 12:37:52

Re : distributions à support compact

#4 09-01-2017 13:20:44

Re : distributions à support compact

#5 09-01-2017 14:02:49

Re : distributions à support compact

#6 09-01-2017 14:04:21

Re : distributions à support compact

#7 09-01-2017 14:10:59

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#8 09-01-2017 14:33:36

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#9 09-01-2017 14:48:44

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#10 09-01-2017 15:49:51

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