sens de variation d'une parabole en comparant le signe de leur diffère

duquenne · 08-01-2017 13:12:37

Bonsoir

J'aimerais avoir de l'aide pour cet preuve

pouvez vous m'aidez ? s'il vous plait

on compare f(x) et f(x') en étudiant le signe de leur différence

la forme générale d'une fonction du second degré est [tex]f(x) = a x^{2} + bx +c[/tex]
soit [tex]f(x) = a x^{2} + bx + c[/tex]
et [tex]f(x') = ax'^{2} + b x' + c[/tex]

[tex]f(x) - f(x') = ax^{2} + b x + c - (ax'^{2} + b x + c)[/tex]

[tex]f(x) - f(x') = ax^{2} - ax'^{2} + bx - b x' + c - c[/tex]

[tex]f(x) - f(x') = a (x - x') (x + x') + b (x - x') [/tex]

[tex]f(x) - f(x') = (x - x') [a(x + x') + b ] [/tex]

je suppose que a est un nombre positif dans la preuve , la parabole est tournée vers le haut et atteint son point le plus bas (= minimum) en
[tex] x =-\frac{b}{2a}[/tex]

l'objectif est de démontrer que la fonction est décroissante sur l'intervalle [tex]]-\infty ; \frac{b}{2a}] [/tex]
puis de démontrer que la fonction est croissante sur l'intervalle [tex][- \frac{b}{2a} ; +\infty[ [/tex]

pour démontrer cela , il faut étudier le signe de [tex]f(x) - f(x') = (x - x') [a(x + x') + b ] [/tex]

étude du signe de x - x'

x -x' > 0 si et seulement si x > x'

x - x' < 0 si et seulement si x < x'

étude du signe de a (x - x') + b

x -x' + b > 0 si et seulement si x - x' > -b

x - x' + b < 0 si et seulement si x - x ' < -b

alors on peut dire que x < -b et - x' < -b

freddy · 08-01-2017 14:16:18

Salut,

une petite remarque : si x* est l'abscisse du point bas, (minimum de la parabole), alors, par définition, pour tout x différent de x*, f(x) est supérieur à f(x*), non ?
Quelle autre preuve veux tu établir ?

duquenne · 08-01-2017 14:43:17

salut freddy

merci de m'avoir répondu

si [tex]x = -\frac{b}{2a}[/tex]

si x est l'abscisse le plus bas , il va avoir pour image f(x) je trace une ligne en pointillé vers l'axe des ordonnées et je place f(x)

pour tout x' différent de x

il y a 2 cas :
x' < x (on est dans la partie décroissante de la parabole)
je prends l'image du point x' , je trace f(x') sur l'axe des ordonnées et d'après le dessin que je viens de faire f(x') > f(x)

x > x' (on est dans la partie croissante de la parabole)
je prends l'image du point x' , je trace f(x') sur l'axe des ordonnées et f(x') > f(x)

donc dans les 2 cas f(x') > f(x)

c'est cela ??

freddy · 08-01-2017 15:31:23

oui

tibo · 08-01-2017 16:34:14

Salut,
Je me permet d'intervenir car ce n'est pas super rigoureux comme rédaction de ta démo...

Revenons à la définition d'une fonction croissante :
"On dit qu'une fonction réelle $f$ est croissante sur un intervalle $I$ si et seulement si pour tout réel $x$ et $x'$ appartenant à $I$, on a
$(x<x'\ \Rightarrow\ f(x)\le f(x'))$"

Et pour une fonction décroissante :
"On dit qu'une fonction réelle $f$ est décroissante sur un intervalle $I$ si et seulement si pour tout réel $x$ et $x'$ appartenant à $I$, on a
$(x<x'\ \Rightarrow\ f(x)\ge f(x'))$"

Donc lorsque l'on cherche les variations d'une fonction, on commence par se donner deux réels $x$ et $x'$ tels que $x<x'$.
Puis on cherche le signe de $f(x)-f(x')$.

Cela donnera quelque chose comme :

Soit la fonction $f:x\mapsto ax^2+bx+c$ avec $a$, $b$ et $c$ trois réels tels que $a>0$.
On veut montrer que $f$ est croissante sur $\left[-\dfrac{b}{2a};+\infty\right[$.
Soit $x$ et $x'$ deux réels tels que $-\dfrac{b}{2a}\le x<x'$.
Il suffit de montrer que $f(x)<f(x')$

$f(x)-f(x')\ =\ .....\ =\ (x-x')\left(a(x+x')+b\right)$

Etude du signe de $x-x'$
On a $x<x'$
donc $x-x'<0$

Etude du signe de $a(x+x')+b$
Tu t'es complètement emmêler les pinceaux dans cette partie.
Pourquoi le $(x+x')$ devient un $(x-x')$?
Et où est passé le $a$?
Il faut partir de $-\dfrac{b}{2a}\le x<x'$ pour trouver le signe.

Dernière modification par tibo (08-01-2017 21:10:05)

freddy · 08-01-2017 17:02:44

Salut tibo,

tu as mille fois raisons d'intervenir, je voulais lui faire remarquer qu'on ne peut pas dire qu'on a un minimum sans connaitre la définition du minimum et chercher à réinventer la roue, ou alors chercher à enfoncer une porte ouverte.

yann06 · 11-01-2017 22:10:24

Bonsoir Tibo

merci de m'avoir répondu
et d'avoir passé du temps pour m'aider
également pour le jeu de mot ' à quoi sert une hyperbole , --> à boire de l'hyper soupe '
pas mal !!

soit la parabole de forme générale f : $x\mapsto ax^{2} + bx + c$
objectif : prouver que la parabole est croissante sur l'intervalle $[\frac{b}{2a} ; + inf[$

on utilise la définition de la fonction croissante : je prends deux nombres x et x' dans l'intervalle $[\frac{b}{2a} ; + inf[$ tel que x < x'

ou encore tel que $\frac{b}{2a} < x < x'$

mon objectif est donc de démontrer que f(x) < f(x') (d'après la définition de la fonction croissante)

pour démontrer cela , on va étudier le signe de f(x) - f(x')

pour démontrer qu'un nombre X est plus grand qu'un nombre Y , on doit étudier le signe du nombre X - Y
X - Y > 0 si X > Y
X - Y < 0 si X < Y

donc f(x) - f(x') > 0 si f(x) > f(x')

je réfais le développement
$f(x) - f(x') = ax^{2} + bx + c - (ax'^{2} + bx' +c)$
$f(x) - f(x') = a x^{2} - ax'^{2} + b x - b x'$
$f(x) - f(x') = a (x - x') (x + x') + b (x - x')$
$f(x) - f(x') = (x - x') [ a (x + x') + b ]$

je dois étudier le signe du produit $(x - x') [a (x + x') + b ]$
pour étudier le signe de $(x - x') [a(x +x') + b]$ on doit faire un tableau de signe avec le signe de (x - x') et le signe de a(x + x') + b

quel est le signe de x - x' ?
x - x' est toujours négatif puisque x < x'

quel est le signe de a [(x + x') +b ] ??

$a[ (x + x') + \frac{b}{a} > 0$ si et seulement si $a[ (x +x') + \frac{b}{a} - \frac{b}{a} > - \frac {b}{a}$

vous me dites qu'il faut partir de $-\frac{b}{2a} < x < x'$

soit $- \frac{b}{2a}- x - x' < 0$

il faut que je trouve f(x) < f(x') soit f(x) - f(x') < 0

si (x - x') < 0

il faut que a[(x + x') + b] soit positif
le signe - et le signe + donne -

tibo · 11-01-2017 23:11:34

Salut,

Très bien pour le début.
Attention tu as oublié quelques $"-"$ sur des $-\dfrac{b}{2a}$

Pour finir, on a $\displaystyle -\frac{b}{2a}\le x<x'$
Donc $\displaystyle -\frac{b}{2a}\le x$ et $\displaystyle -\frac{b}{2a}< x'$
Donc $x+x'> ???$

Et tu devrais pouvoir finir.

Dernière modification par tibo (11-01-2017 23:13:30)

yann06 · 12-01-2017 00:03:43

Bonsoir Monsieur,

merci de m'avoir répondu

pour prouver que la fonction est croissante sur l'intervalle $[-\frac{b}{2a} ; + \infty[$

si x < x' on doit avoir f(x) < f(x') soit f(x) - f(x') < 0

on a vu que x - x' est toujours négatif

pour avoir f(x) -f(x') < 0

donc il faut que $a (x + x') + b $ soit positif

nous avons pris deux nombres x et x' dans l'intervalle $[-\frac{b}{2a} . ;+ \infty[$ rangés tel que x < x'
ou encore tel que $\frac{b}{2a} < x < x'$ (c'est logique )

donc $-\frac{b}{2a} < x$ et $-\frac{b}{2a} < x'$

en additionnant les 2 équations

$ -\frac{b}{2a} + \frac{-b}{2a} < x + x' $

comme les fractions ont meme dénominateur , je peux additionner les numérateurs
ce qui donne :
$-\frac{2b}{2a} < x + x'$

soit $-\frac{b}{a} < x + x'$

soit $0 <\frac{b}{a} + x + x'$

ce que je ne comprends pas , c'est pour quelle raison on additionne x + x'

tibo · 12-01-2017 00:27:56

Re,
C'est bien poli, mais ne t’embarrasse du Monsieur ici. Je suis juste Tibo ici.

Tu cherches bien à connaître le signe de $a(x+x')+b$ ?
Donc il faut bien faire apparaître un $x+x'$ à un moment non?

Je reprend ton avant dernière inégalité :
on a $-\dfrac{b}{a} < x + x'$
Que se passe-t-il si tu la multiplies par $a$ puis que tu ajoutes $b$?

yann06 · 12-01-2017 03:03:59

Ok , j'ai compris

le but , c'est de reconstruire l'expression $a(x + x') + b$
on commence par le centre , comme une sorte de puzzle , c'est cela??

tibo · 12-01-2017 08:28:00

Absolument.
C'est une méthode que l'on utilise assez souvent pour obtenir des inégalités.

On part d'une inégalité connue pour essayer d'obtenir l'inégalité recherchée.

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

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