Forum de mathématiques - Bibm@th.net

tina

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question

Bonjour,
soit $\varphi \in \mathcal{D}(]a,b[)$. On a:
$\varphi$ admet une primitive dans $\mathcal{D}(]a,b[)$ si et seulement si $\displaystyle\int_a^b \varphi(x) dx =0$

Je sais montrer que si $\varphi$ admet une primitive dans $\mathcal{D}$, alors $\displaystyle\int_a^b \varphi(x) dx =0$. Ma question est comment montrer que
si $\displaystyle\int_a^b \varphi(x) dx =0$, alors $\varphi$ admet une primitive dans $\mathcal{D}(]a,b[)$? S'il vous plaît. Je ne sais même pas par où commencer.

Fred

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Re : question

Bonjour,

S'il vous plaît. Je ne sais même pas par où commencer.

En définissant $\psi(x)=\int_a^x \varphi(t)dt$ (c'est, à une constante près, la seule façon de définir une primitive de $\varphi$, et comme tu veux qu'elle s'annule en $a$, il n'y a pas d'autre moyen!).

F.

tina

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Re : question

Je lis une solution que je ne comprend pas très bien à la fin.
On pose $\psi(x)= \displaystyle\int_a^x \varphi(t) dt$
On a $\psi \in C^\infty(]a,b[)$
il reste à prouver que $Supp \psi \subset ]a,b[$.
Puisque $Supp \varphi \subset ]a,b[$, alors il exist $\epsilon >0$ t.q $\varphi=0$ sur $[a,\epsilon]$ et $[b-\epsilon,b]$.
On a:
$$
\displaystyle\int_a^b \varphi(t) dt = \displaystyle\int_a^x \varphi(t) dt + \displaystyle\int_x^b \varphi(t) dt
$$
lorsque $x>b-\epsilon$, alors $\displaystyle\int_x^b \varphi(t) dt =0$ ce qui implique que $\psi(x)= \displaystyle\int_a^x \varphi(t) dt =0$
Mais je ne comprend pas comment ça peut nous aider à déduire que $Supp \psi \subset ]a,b[$.
Merci pour votre aide.

Dernière modification par tina (06-01-2017 19:39:02)

Yassine

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Re : question

Bonsoir,
Il y a une erreur dans ce que tu rapportes de ta lecture, il faut lire il existe $\epsilon > 0$ tel que $\varphi=0$ sur $[a,a+\epsilon]$ et $[b-\epsilon,b]$ (et non $[a,\epsilon]$ comme tu l'écris)

Pour la justification :
on montres que $\forall x > b-\epsilon, \ \psi(x)=0$.
on montre également (même raisonnement) que $\forall x < a+\epsilon, \ \psi(x)=0$
Si on combine ces deux phrases, ça donne $\forall x \notin [a+\epsilon,b-\epsilon] , \ \psi(x)=0$

Si maintenant, tu prends la contraposée, ça donne $\forall x, \psi(x)\neq 0 \implies x \in [a+\epsilon,b-\epsilon]$.
Soit encore $\{x \ | \ \psi(x) \neq 0\} \subset [a+\epsilon,b-\epsilon]$ et par passage à l'adhérence, cela donne le résultat attendu.

tina

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Re : question

S'il vous plaît, comment on montre exactement que $\forall x>b-\epsilon, \psi(x)=0$ et $\forall x <a+\epsilpn: \psi(x)=0$?
Merci pour votre aide

Yassine

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Re : question

Ce sont de simples manipulation de bornes d’intégrales, l'exploitation du fait que  $\varphi$ est nulle sur $[a,a+\epsilon]$ et sur $[b-\epsilon,b]$ et du fait que $\int_a^b \varphi(x) dx = 0$.
Cherche un peu et montre nous ce que tu as tenté.

tina

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Re : question

J'avais essayé ceci:
\begin{align*}
0&= \displaystyle\int_a^b \varphi(x) dx = \displaystyle\int_a^x \varphi(x) dx + \displaystyle\int_x^b \varphi(x) dx\\
&= \displaystyle\int_a^{a+\epsilon} \varphi(x) dx + \displaystyle\int_{a+\epsilon} \varphi(x) dx + \displaystyle\int_x^{b-\epsilon} \varphi(x) dx +\displaystyle\int_{b-\epsilon}^b \varphi(x) dx\\
& = \displaystyle\int_{a+\epsilon}^{b-\epsilon}\varphi(x) dx
\end{align*}
et je bloque à ce niveau parce qu'on ne sait pas si $\varphi$ et positif.

Puis, j'ai essayé la méthode que j'ai lu. On a
$$
\displaystyle\int_a^b \varphi(x) dx = \displaystyle\int_a^x \varphi(x) dx + \displaystyle\int_x^b \varphi(x) dx
$$
Si $x >b-\epsilon$, alors $\displaystyle\int_x^b \varphi(x) dx =0$, ce qui implique que $\psi(x)= \displaystyle\int_a^x \varphi(x) dx =0$
et là je bloque aussi.
Merci pour votre aide.

Dernière modification par tina (06-01-2017 21:59:16)

Yassine

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Re : question

C'est un premier résultat : $\displaystyle \int_{a+\epsilon}^{b-\epsilon} \varphi(x)dx=0$.
(je ne vois d'ailleurs pas pourquoi tu te pose la question si $\varphi$ est positive. On ne cherche pas à démontrer que $\varphi=0$ !)

Le cas le plus simple est $a < x < a+\epsilon$. On veut monter que $\psi(x)=0$
On a $\displaystyle \psi(x)=\int_a^x \varphi(t)dt$. Que vaut $\varphi(t)$ sur l'intervalle $[a,x]$ ?