Forum de mathématiques - Bibm@th.net

thx1138

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loi de composition interne groupe

bonjour à tous

soient f une bijection de R dans lui meme et g sa bijection réciproque. on definit une loi de composition interne $ dans R définie par : pour tout (x,y) de R^2

x$y=g[f(x)+f(y)]

question:montrer que (R,$) est un groupe abélien isomorphe à (R,+)

ce que j'ai fait

1) associativité

(x$y)$z=g[f(x$y)+f(z)]=g[f(g[f(x)+f(y)])+f(z)]=g[f(x)+f(y)+f(z)]

x$(y$z)=g[f(x)+f(y$z)]=g[f(x)+f(g[f(y)+f(z)]=g[f(x)+f(y)+f(z)]

on a (x$y)$z=x$(y$z) donc $ est associative

2) élément neutre

x$e=e$x=x --->g[f(x)+ f(g(0)]=g[(f(x)+0]=g(f(x)=x on fait le meme raisonnement pour le neutre à gauche. g(0) est le neutre pour $

3) symétrique

x$x'=x'$x=0 --->x$g[-f(x)]=g[f(x)+f[g(-f(x))]=g[f(x)-f(x)]=g(0) donc x'=g[-f(x)]

4) commutativité

x$y=g[f(x)+f(y)]=g[f(y)+f(x)]=y$x

puis f(x$y)=f(g[f(x)+f(y)])=f(x)+f(y)

conclusion (R,$) est un groupe abélien isomorphe au groupe (R,+)

est ce correct?

merci d'avance pour vos réponses

cordialement

freddy

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Re : loi de composition interne groupe

Salut,

je pense que c'est presque bon mais ça manque de rigueur :  tu dois par exemple prouver que l'élément neutre est unique ainsi que le symétrique de chaque élément ; par ailleurs, à aucun moment, tu ne te sers du fait que $f$ et $g=f^{-1}$ sont des bijections de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$. Or c'est cette propriété qui doit permettre d'établir ces unicités. Dernier point : isomorphie avec le groupe abélien $(\mathbb{R},\;+)$  : comment l'établis-tu formellement ? Pas une phrase à ce sujet ?
Comme tu n'écris pas tes formules avec latex, assez facile pourtant, tes lignes de raisonnement sont assez délicates à lire.
Try again !

thx1138

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Re : loi de composition interne groupe

ben à part dire que f(g(x)=g(f(x)=x avec g la bijection réciproque de f je ne vois pas trop ou est le problème

thx1138

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Re : loi de composition interne groupe

et l'isomorphisme c'est grace aux bijection aussi

freddy

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Re : loi de composition interne groupe

Re,

si tu penses que c'est bon, alors c'est bon.

thx1138

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Re : loi de composition interne groupe

je viens à l'instant de regarder le corrigé et entre ce que j'ai fais et ce qui est écris dans le corrigé c'est exactement la meme chose. la seule chose qui ne vas pas c'est que je n'ai pas utilisé les quantificateurs c'est vrai ça manque de rigueur mais le raisonement est correct.

prouvez moi que ce que j'ai fais est faux.

ps:je peux vous scannez le corrigé si vous pensez que ce que j'ai fais est faux

freddy

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Re : loi de composition interne groupe

[...]
la seule chose qui ne va pas c'est que je n'ai pas utilisé les quantificateurs, c'est vrai ça, manque de rigueur, mais le raisonnement est correct.

On est bien d'accord.
C'est bien ton manque de rigueur que j'ai pointé, ce qui fera que tu n'iras pas très loin si tu ne le corriges pas. Normalement, c'est au lycée qu'on apprend ça. T'es en quelle classe (ou année) de quoi ?

prouvez moi que ce que j'ai fait est faux.

ps: je peux vous scanner le corrigé si vous pensez que ce que j'ai fait est faux

Quel petit orgueilleux tu fais !
Si tu as le corrigé, pourquoi nous sollicites-tu ?
Ici, on aide ceux qui ne l'ont pas, ou ceux qui veulent progresser.

Sinon, oui, je veux bien regarder le corrigé, pour voir s'il commet les mêmes erreurs que toi.
S'il est fait par un prof, je pense qu'il ne doit pas y en avoir. Par contre, je t'indiquerai, si tu le souhaites, là où il faut que tu insistes pour rédiger des solutions de manière rigoureuse.
Mais si tu veux faire un concours avec moi, passe ton chemin, ce n'est pas trop le genre de la maison.

A toi de voir.

thx1138

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Re : loi de composition interne groupe

rectification de l'exo

soient f une bijection de R dans lui meme et g sa bijection réciproque. on definit une loi de composition interne $ dans R définie par : pour tout (x,y) de R^2

on sait tout d'abord que f(g(x)=g(f(x)=x

x$y=g[f(x)+f(y)]

question:montrer que (R,$) est un groupe abélien isomorphe à (R,+)

on sait tout d'abord que f(g(x)=g(f(x)=x

ce que j'ai fait

1) associativité
pour tout x y z de R^3

(x$y)$z=g[f(x$y)+f(z)]=g[f(g[f(x)+f(y)])+f(z)]=g[f(x)+f(y)+f(z)]

x$(y$z)=g[f(x)+f(y$z)]=g[f(x)+f(g[f(y)+f(z)]=g[f(x)+f(y)+f(z)]

on a (x$y) $z=x$(y$z)

donc $ est associative

pour le neutre on pose e=f(g(0) et on verifie qu'ilsatisfait la propriété de l'élément neutre idem pour le symétrique on pose x'=g[-f(x)] on vérifie qu'il satisfait la propriété du symetrique et pour cela on utilise le fait que f est une bijection de R dans lui meme et que g est la bijection réciproque de f et enfin on utilise le meme argument (bijection et bijection réciproque) pour montrer que f est un isomorphisme de (R,$) dans (R,+) ce qui donne

2) élément neutre

pour tout x de R soit e=f(g(0) le neutre de $ on a alors:

x$e=e$x=x--->g[f(x)+ f(g(0)]=g[(f(x)+0]=g(f(x)=x on fait le meme raisonnement pour le neutre à gauche. g(0) est le neutre pour $

3) symétrique

pour tout x de R soit x'=g[-f(x)] le symétrique de x alors on a :

x$x ′ =x'$x=e --->x$g[-f(x)]=g[f(x)+f[g(-f(x))]=g[f(x)-f(x)]=g(0) donc x'=g[-f(x)] est bien le symétrique de x pour $ à gauche et à droite

et enfin pour l'isomorphisme on a :

f(x$y)=f(g[f(x)+f(y)])=f(x)+f(y) donc (R,$) et (R,+) sont isomorphe car g est la bijection réciproque de f d'ou g(f(x)=x et g(f(y)=y

thx1138

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Re : loi de composition interne groupe

neutre on pose e=f(g(0) et on verifie qu'ilsatisfait la propriété de l'élément neutre idem pour le symétrique on pose x'=g[-f(x)] on vérifie qu'il satisfait la propriété du symetrique et pour cela on utilise le fait que f est une bijection de R dans lui meme et que g est la bijection réciproque de f et enfin on utilise le meme argument (bijection et bijection réciproque) pour montrer que f est un isomorphisme de (R,$) dans (R,+) ce qui donne

2) élément neutre

pour tout x de R soit e=f(g(0) le neutre de $ on a alors:

x$e=e$x=x--->g[f(x)+ f(g(0)]=g[(f(x)+0]=g(f(x)=x on fait le meme raisonnement pour le neutre à gauche. g(0) est le neutre pour $

3) symétrique

pour tout x de R soit x'=g[-f(x)] le symétrique de x alors on a :

x$x ′ =x'$x=e --->x$g[-f(x)]=g[f(x)+f[g(-f(x))]=g[f(x)-f(x)]=g(0) donc x'=g[-f(x)] est bien le symétrique de x pour $ à gauche et à droite

et enfin pour l'isomorphisme on a :

f(x$y)=f(g[f(x)+f(y)])=f(x)+f(y) donc (R,$) et (R,+) sont isomorphe car g est la bijection réciproque de f d'ou g(f(x)=x et g(f(y)=y

thx1138

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Re : loi de composition interne groupe

juste un soucis avec mon ordi il n'affiche pas le symbole $

thx1138

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Re : loi de composition interne groupe

bizarre là il s'affiche et pas les autres fois quand j'écris les formules

thx1138

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Re : loi de composition interne groupe

pour le  neutre on pose e=f(g(0) et on verifie qu'ilsatisfait la propriété de l'élément neutre idem pour le symétrique on pose x'=g[-f(x)] on vérifie qu'il satisfait la propriété du symetrique et pour cela on utilise le fait que f est une bijection de R dans lui meme et que g est la bijection réciproque de f et enfin on utilise le meme argument (bijection et bijection réciproque) pour montrer que f est un isomorphisme de (R,$) dans (R,+) ce qui donne

2) élément neutre

pour tout x de R soit e=f(g(0) le neutre de $ on a alors:

x$e=e$x=x--->g[f(x)+ f(g(0)]=g[(f(x)+0]=g(f(x)=x on fait le meme raisonnement pour le neutre à gauche. g(0) est le neutre pour $

3) symétrique

pour tout x de R soit x'=g[-f(x)] le symétrique de x alors on a :

x$x ′ =x'$x=e --->x$g[-f(x)]=g[f(x)+f[g(-f(x))]=g[f(x)-f(x)]=g(0) donc x'=g[-f(x)] est bien le symétrique de x pour $ à gauche et à droite

et enfin pour l'isomorphisme on a :

f(x$y)=f(g[f(x)+f(y)])=f(x)+f(y) donc (R,$) et (R,+) sont isomorphe car g est la bijection réciproque de f d'ou g(f(x)=x et g(f(y)=y

thx1138

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Re : loi de composition interne groupe

bon ben ça reste comme ça on utilisera la notation multiplicative

freddy

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Re : loi de composition interne groupe

Re,

le symbole dollar sert à écrire des formules en Latex, change le symbole pour définir ta LCI.

bridgslam

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Re : loi de composition interne groupe

Bonjour,

Quand tu écris soit e le neutre etc... pour l'opération .
Cela n'a pas de sens au départ, tu ne sais même pas à priori qu'il existe. Idem pour le symétrique.
Il faut raisonner dans l'autre sens: soit g(0) ( qui existe, g étant bijective ), montrons qu'il est neutre pour l'opération...

Alain

Dernière modification par bridgslam (31-05-2021 07:24:38)

bridgslam

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Re : loi de composition interne groupe

Bonjour,

Le mieux est de montrer directement , proprement, que f et g sont des isomorphismes de l'un vers l'autre.
Dans le sens de f :

- f est bijective
- montrons que f( a*b) = f(a) + f(b) en appliquant  la définition de ton opération *.

Or [tex]f( a * b ) = f( g( f(a) + f(b) ) = f(a) + f(b) [/tex] : il y a bien conservation des opérations.

Ensuite neutre, symétrique... se correspondent forcément par isomorphisme, ce que tu peux détailler...

A noter que la propriété est générale, il s'agit du transport d'une structure par bijection.

Alain