Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Fred

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Enigme : Les condamnés, le bourreau et les chapeaux

Nous sommes dans le Far-West.
Cent condamnés à mort attendent leur exécution pour le lendemain.
Leur bourreau vient leur rendre visite et leur explique le détail de l'exécution.
Il seront tous placés, les uns derrière les autres, avec des chapeaux blancs
ou des chapeaux noirs. Le bourreau commencera par interroger le dernier
de la file, lui demandant la couleur de son chapeau. S'il répond juste,
il est sauvé. S'il se trompe, il est mort. Le procédé est ensuite répété
pour chaque prisonnier.

Les condamnés ont une nuit pour trouver une méthode
pour sauver le plus grand nombre d'entre eux.
Combien pouvez-vous en sauver, sachant que chaque prisonnier
voit bien sûr la couleur des chapeaux qui sont devant lui et
entend la réponse des prisonniers qui sont derrière lui?

Et si, au lieu de chapeaux noirs et blancs, il y avait 10 chapeaux
de couleurs différentes????

A vous lire!
Fred.

P.MTZ

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Re : Enigme : Les condamnés, le bourreau et les chapeaux

bonjour!
il faut que le premier à parler dise la couleur du chapeau devant lui. Dans le cas N/B il a une chance sur deux de ...., le pauvre.....mais les autres seront sauvés. Dans le cas des dix couleurs.... le vraiment très pôvre premier, mais ls autres seront sauvés!
Bonne journée

Fred

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Re : Enigme : Les condamnés, le bourreau et les chapeaux

Bonjour!

Je ne crois pas que la méthode que tu suggères soit la bonne.
En effet, l'avant-dernier bonhomme connait le chapeau qu'il a sur la tête,
mais comment fait -il pour à la fois sauver sa peau et prévenir le précédent de la couleur
de son chapeau?
Pour le moment, il n'y a que 50 prisonniers sauvés à coup sûr!
Fred.

portenawak

Invité

Re : Enigme : Les condamnés, le bourreau et les chapeaux

Un peu confus comme énonçé  ! beaucoup de si ? tu ne précises pas pendant qu'on y est  si c'est comme au pichonary :
- chacun voit la réponse( la couleur) de l'autre mais ignore la sienne.
Et à la fin l'histoire des couleurs différentes ???
- ça en ferait 12 en tout , mais quelles sont les couleurs que le bourreau peut choisir et citer en plus les dérivés ?:
le bordeau , l'ocre , le mordoré , le fuschia , le magenta , le bleu des mers du sud , le vert légérement pomme grany ... , n'importe quoi !
elles ne seraient peut être pas celles des chapeaux !
Peut -être aussi leur pose t-il des questions pour leur faire deviner et même peut être les induit -il en erreur pour mieux les pièger !!!
Probabilités et tirage aléatoire qui rappel des régimes totalitaires qu'on souhaiterait à jamais ne plus connaitre , voilà ma réponse

Fred

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Re : Enigme : Les condamnés, le bourreau et les chapeaux

Salut,

  Comme les condamnés sont placés en file,
il est bien clair que chacun voit la couleur des chapeaux des gens
qui le précèdent...

Fred.

john

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Re : Enigme : Les condamnés, le bourreau et les chapeaux

Bonjour,
Je crois que, posée sur le forum "crypto. ", on aurait déjà la réponse à cette énigme.
A+

El chapiomagique

Invité

Re : Enigme : Les condamnés, le bourreau et les chapeaux

Comme l'indique très pertinemment Portenawake ( bizare ce pseudo ?)
1)chaque condamné connait-il la couleur du chapeau qu'il porte ,
et je rajouterais:
2) sont-ils tous voyants et entendants.
ce qui n'irai pas sans corser la résolution de ce problème un peu glauque .

Fred

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Re : Enigme : Les condamnés, le bourreau et les chapeaux

Ce n'est pas impossible, John.
Alors, tu es capable d'en sauver combien???

Fred.

john

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Re : Enigme : Les condamnés, le bourreau et les chapeaux

J'espère 99.5... s'ils sont tous non daltoniens, bien voyants, parlants et entendants.
A+

Dernière modification par john (15-06-2007 20:12:40)

Fred

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Re : Enigme : Les condamnés, le bourreau et les chapeaux

Je ne fait pas mieux!
A+
Fred.

pépémokeur

Invité

Re : Enigme : Les condamnés, le bourreau et les chapeaux

La question est pourtant simple ?
Le Môssieur lui demande quelle est la couleur de son papio !
Faudrait vraiment qu'ils aient de la peau de sausse devant les yeux pour ne pas le voir , il doit leur rester un semblant de vision périphérique ,et des mains c'est pas écrit interdit !
Le reste c'est du bla-bla , puisque c'est la seule condition que le bourreau pose pour leur salut ; qu'ils soient en file indienne , sourds , éclopés etc... , daltoniens , aucune incidence ( noir ou blanc les papios ) seulement ils feraient mieux de trucider leur bourreau , à 100/1 , ça ne devrait pas poser problème , je vous rappelle qu'on est tout de même au Far West , résultat pour pépémokeur = 100%.

èjé

Invité

Re : Enigme : Les condamnés, le bourreau et les chapeaux

"Le bourreau commencera par interroger le dernier de la file, lui demandant la couleur de son chapeau."

Une petite précision dans l'énoncé ne serait-elle pas nécessaire ,la couleur du chapeau de qui ? celui du condamné ou celui du bourreau ?

john

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Re : Enigme : Les condamnés, le bourreau et les chapeaux

Salut èjé,

..et bravo! Cette question est digne d'un matheux. Tu devrais venir nous aider sur BM car avec cette interprétation de l'énoncé, tu es meilleur que Fred et moi (ça fait 100/100 si je compte bien).
A+

éjè

Invité

Re : Enigme : Les condamnés, le bourreau et les chapeaux

Nice to meet you John,
Tout d'abord merci pour ces félicitations non empreintes d'un peu d'ironie ,
mais en effet , j'y pense , j'y pense et puis ... j'oublie , le début d'Alzheimer ?
Je ne vous serai pas d'une grande utilité , mais je resterai le petit bourdon au multiples pseudos qui vient piquer de temps en temps (un fou rire )et détendre les sygomatiques des mathuex trop stressés.

Fred

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Re : Enigme : Les condamnés, le bourreau et les chapeaux

Des matheux stressés....je ne suis pas sur d'en connaitre!
Et pourtant, des matheux, j'en connais!

Fred.

pépémokeur

Invité

Re : Enigme : Les condamnés, le bourreau et les chapeaux

Salut jéjè,
Les tiens <<des mathuex trop stressés.>> sont une déclinaison bien particulière de l'espèce ,
ce sont des "ex-mathu".
On demandera peut être la définition éxacte à une experte : Ségolène ,
mois je l'ai , mais , mais ....je l'ai oublié aussi  !!! alors, mêmes syndrômes ... mêmes effets ?
pépémokeur .
(à mokeur mokeur et 1/2 .)

vbnul

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Re : Enigme : Les condamnés, le bourreau et les chapeaux

La répartition des chapeaux est elle aléatoire ?
Les prisonniers savent ils si le prisonnier précédemment interrogé s'est fait exécuter ?

En admettant que oui, un prisonnier interrogé connaît le nombre de chapeaux blancs (et noirs donc) devant et derrière lui, il peut alors tenter de se placer dans la couleur la moins représentée.
Je n'ai aucune idée de comment évaluer le taux réussite de cette tactique.

Jeris

Invité

Re : Enigme : Les condamnés, le bourreau et les chapeaux

Pas la peine de se creuser la tête jéjè à trouvé je pense une faille dans l'énonçé :

Re: Enigme : Les condamnés, le bourreau et les chapeaux"Le bourreau commencera par interroger le dernier de la file, lui demandant la couleur de son chapeau."

Une petite précision dans l'énoncé ne serait-elle pas nécessaire ,la couleur du chapeau de qui ? celui du condamné ou celui du bourreau ?

Je rajouterai que c'est stupide , comment un condamné aux yeux bandés ( c'était le cas au Far -West avant la pendaison ) peut-il voir, soit le chapio du bourreau, soit les chapios des autres condamnés qu'ils soient noirs ou blancs  les chapios , s'il a les yeux bandés !
ça ne vous interpelle pas ce petit détail ???

Fred

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Re : Enigme : Les condamnés, le bourreau et les chapeaux

Je me rends compte que la solution à cette énigme n'a pas encore été donnée, donc je m'y colle.

Le dernier condamné, voiyant le chapeau de tous les autres sauf le sien, compte par exemple le nombre de chapeaux blancs.
S'il en voit un nombre pair, il dit "blanc". S'il en voit un nombre impair, il dit "noir"!
Il a une chance sur deux de mourir ainsi.

L'avant dernier condamné voit lui tous les chapeaux qui le précèdent. Supposons qu'il voit un nombre pair de chapeaux blancs :
  * si le dernier condamné a dit "blanc", c'est qu'il voyait lui aussi un nombre pair de chapeaux blancs. L'avant-dernier condamné dit
donc "noir".
  * si le dernier condamné a dit "noir", c'est qu'il voyait lui un nombre impair de chapeaux blancs. Le chapeau de l'avant-dernier condamné est donc blanc, ce qu'il dit.
Bien sûr, la situation est symétrique s'il voit un nombre impair de chapeaux blancs. L'avant-dernier condamné est sauvé!

On peut remonter ainsi toute la file, car on dispose toujours de l'information : "parité du nombre de chapeaux blancs que voyait le
condamné disposé derrière dans la file".

Bon courage pour les nouvelles énigmes de Yoshi,
Fred.

pépémokeur

Invité

Re : Enigme : Les condamnés, le bourreau et les chapeaux

bon admettons ...
Mais on peut la rendre plus attractive et rigolote en remplaçant le mot "condamné(s) "par "ivrogne(s)" les mots : chapeau(x) blanc par ballon(s) de blanc , noir par petit noir , bourreau par grand Mestre de la Confrèrie du Tastevin, etc. en imaginant bien sûr que l'action se passe dans un troquet de quartier.

john

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Re : Enigme : Les condamnés, le bourreau et les chapeaux

Hello,
C'est vrai, la consommation de vin en France est en perte de vitesse... mais il ne me semble pas utile de la stimuler chez les matheux (attention : 2 interprétations possibles, au choix).
Cette énigme circulait dans les lycées il y a bien longtemps déjà et ce n'est pas à la parité (solution très élégante, bravo Fred !) qu'on faisait appel pour la résoudre. De plus, seul le chapeau du condamné précédent était visible du suivant. Avez vous une idée ? Et lorsqu'il y a plusieurs couleurs ?
A+

Dernière modification par john (29-06-2007 20:52:55)

Colas

Invité

Re : Enigme : Les condamnés, le bourreau et les chapeaux

Juste une petite question: si on se base sur la couleur blanc ( un nombre impaire ou paire de blancs) mais que devant le premier il n'y a que des noirs, comment cela ce passe?

Fred

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Re : Enigme : Les condamnés, le bourreau et les chapeaux

zéro est un nombre pair!

Fred.

Barbichu

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Re : Enigme : Les condamnés, le bourreau et les chapeaux

Ho, la belle énigme.
Personne n'a donné de réponse pour le cas de n couleurs.
On peut représenter l'ensemble des couleurs par Z/nZ.
Soit [tex]C_i \in \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}[/tex] la couleur du [tex]i^{ieme}[/tex] chapeau. Il y a N prisonniers.
* Le Nième prisonnier annonce [tex]S = \displaystyle\sum_{i=1}^{N-1} C_i[/tex]
Il a n-1 chance sur n d'y passer (Si [tex]C_n = S[/tex] c'est ok, sinon c'est mort)
* Le N-1 ème prisonnier fait alors [tex]S - \displaystyle\sum_{i=1}^{N-2} C_i = C_{N-1}[/tex], ce qui lui permet d'anonncer [tex]C_{N-1}[/tex] la couleur de son chapeau
* Le N-2 ème prisonier fait [tex]S - C_{N-1} - \displaystyle\sum_{i=1}^{N-3} C_i = C_{N-2}[/tex], ce qui lui permet d'anonncer [tex]C_{N-2}[/tex] la couleur de son chapeau
* et ainsi de suite

On peut donc toujours sauver N-1 prisonniers, et il y en a un qui a n-1 chance sur n d'y passer, celui-ci n'ayant de toute façon aucun moyen de connaitre la couleur de son chapeau, on ne peut guère faire mieux pour lui en cas de distribution uniforme.

Si les tortionnaires prévoient le coup et assignent aux Nième prisonnier un chapeau de couleur différente de S, les prisonniers peuvent tirer aléatoirement un nombre a que le Nième prisonnier ajoutera à son calcul et que les autres retrancheront au leur. Ceci suffit à déjouer toute maléveillance de la part des exécuteurs et lui rétablit une probabilité uniforme de [tex]{{n-1} \over n[/tex]

++

merlette

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Re : Enigme : Les condamnés, le bourreau et les chapeaux

Une question pour être sure de bien comprendre la mécanique:
si tous les chapeaux devant le premier sont blancs, comment cela se passe?
Les condamnés voient tous successivement un nombre pair puis impair de chapeaux blancs devant eux, mais ils devraient toujours répondre blanc pour être sauvés, et dans ce cas je ne vois pas comment cela fonctionne puisque ils ne peuvent indiquer la bonne parité une fois sur deux.

Merci pour cet éclaircissement,

C.