Forum de mathématiques - Bibm@th.net

akera

Membre

Inscription : 25-11-2016

Messages : 12

serie de fonction

salut, svp aidez moi:

Etudier la serie de fonction suivante (convergence simple, convergence uniforme, convergence normale):

[tex]\sum_{n\geq 0}^{}{\frac{ln(x^{2}+3n)+6n^2}{\sqrt{n^2+e^{x}}+n^{4}}}[/tex]

je vais noter [tex]{f_{n}(x)=\frac{ln(x^{2}+3n)+6n^2}{\sqrt{n^2+e^{x}}+n^{4}}}[/tex]

on connait que [tex]\sum_{n\geq 0}^{}{f_{n}(x)}[/tex] converge simplement.

comment etudier la convergence normale et uniforme?

merci d'avance

Dernière modification par akera (18-12-2016 15:24:57)

Yassine

Membre

Inscription : 09-04-2013

Messages : 1 090

Re : serie de fonction

Bonjour,
Tu es sûr de ton expression ?

$\displaystyle {f_{n}(x)=\frac{ln(x^{2}+3n)+6n^4}{\sqrt{n^2+e^{x}}+n^{2}}} \ge \frac{6n^2}{1 + \epsilon(1/n^2,x)}$ pour $n$ assez grand, avec $\displaystyle \lim_{n \to \infty}\epsilon(1/n^2,x)=0$
Donc $\displaystyle \lim_{n \to \infty}f_n(x)=+\infty$

akera

Membre

Inscription : 25-11-2016

Messages : 12

Re : serie de fonction

excusez moi j'ai fait une faute en copiant l'enonce il faut mettre [tex]n^{2}[/tex] en numerateur et [tex]n^{4}[/tex] au denominateur

je vais corriger l'enonce ci-dessus, s'il vous plait aidez moi à le resourdre.

merci

akera

Membre

Inscription : 25-11-2016

Messages : 12

Re : serie de fonction

apres avoir corriger la faute, la serie converge simplement. Mais comment etablir la convergence uniforme et normale?

lyakidi khadija

Invité

Re : serie de fonction

j'ai des problemes  avec les suites surtout suite de Cauchy

Yassine

Membre

Inscription : 09-04-2013

Messages : 1 090

Re : serie de fonction

Quelques pistes à explorer :
le terme $\displaystyle \frac{6n^2}{\sqrt{n^2+e^{x}}+n^{4}}$
ne pose pas de problème de convergence uniforme (tu peux minorer le dénominateur par $n^4$).

Pour le terme $\displaystyle \frac{ln(x^{2}+3n)}{\sqrt{n^2+e^{x}}+n^{4}}$, il faut écrire $\ln(x^2 + 3n) \le 2\ln(x)+\ln(3n-1)$
Le terme $\displaystyle \frac{\ln(3n-1)}{\sqrt{n^2+e^{x}}+n^{4}}$ ne pose pas de problème comme le précédent.

Reste alors le terme $\displaystyle \frac{2\ln(x)}{\sqrt{n^2+e^{x}}+n^{4}}$, je pense qu'il faut que tu étudies la fonction pour trouver ses extremums.

--EDIT--
Je n'ai pas fait les calcul, mais à vu de nez, ça ne semble pas simple !

Dernière modification par Yassine (18-12-2016 21:09:34)