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convergence

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Execice: integrale et point fixe

Bonjour,

J'ai cet exercice de base, mais je ne sais plus comment faire, surtout pour la deuxième question.

Soit [tex]f[/tex]  une fonction continue sur [tex][a,b][/tex] telle que [tex]\int_{a}^{b}f(x) dx=0[/tex] . Montrer que [tex]f[/tex] s'annule au moins une fois sur [tex][a,b][/tex].

En déduire que une fonction [tex]f[/tex] continue sur [tex][0,1][/tex] vérifie [tex]\int_0^1 f(x) dx=\frac12[/tex], alors f admet un point fixe.

Merci beaucoup

PTRK

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Re : Execice: integrale et point fixe

Bonjour,
Pour 1) tu peux montrer la contraposé : tu supposes que $f$ est toujours continue sur $[a,b]$ mais ne s'annule jamais. Tu dois déduire que son intégrale ne peux être nulle. Indice : si f ne s'annule jamais, elle soit toujours plus grande qu'une certaine valeur non nulle.

Pour 2) Cherche à calculer $\int_0^1 f(x)-xdx$. Regarde ce que tu peux déduire de 1)

Dernière modification par PTRK (14-12-2016 11:23:59)

convergence

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Re : Execice: integrale et point fixe

Donc pour 1

Supposons que f est continue sur [a,b] et que [tex]f(x)\neq 0, \forall x\in [a,b][/tex], donc il existe [tex]k>0[/tex] tel que [tex]f(x)\geq k[/tex] alors [tex]\int_a^b f(x)dx\geq \int_a^b k dx =k(b-a)>0[/tex] contradiction avec le fait que l’intégrale soit nulle .

est ce que c'est 100% juste ?

Merci

Dernière modification par convergence (14-12-2016 11:47:02)

rey114

Invité

Re : Execice: integrale et point fixe

salut, cet exercice est une application du th de la moyenne:

1) f est continue sur [a;b], donc: il existe au moins c [tex]\in [/tex] [a,b] tel que [tex]f(c)=\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}{f(x)dx}=0[/tex].
d'ou le resultat.

pour 2) comme a dit PTRK, que je salut.

convergence

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Re : Execice: integrale et point fixe

pour 2)
[tex]
\int_0^1 f(x)-x dx=\int_0^1 f(x) dx-\int_0^1 x dx=\frac12- \frac12=0[/tex] donc d'après 1) il esiste [tex]c\in ]0,1[[/tex] tel que [tex]f(c)-c=0[/tex] donc c est un point fixe

c'est juste ?

Rey114

Invité

Re : Execice: integrale et point fixe

Exactement