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#2 04-12-2016 13:09:27
- Yassine
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Re : connexite
Bonjour,
Je te donne une idée :
$A \cup B$ connexe va garantir que $A \cap B$ est non vide
Ensuite, considère une partition de $A$ par deux fermés disjoints $A_1$ et $A_2$, tu peux alors montrer que $A_1 \cap B$ et $A_2 \cap B$ est une partition de $A \cap B$ par deux fermés disjoints.
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#4 04-12-2016 14:58:06
- Yassine
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Re : connexite
Entre ce que je t'ai donné et la solution, il n'y plus beaucoup de marge !
Est-ce que tu sais d'abord justifier la première proposition ?
Pour la deuxième : tu dois montrer que $B_1 = A_1 \cap B$ et $B_2 = A_2 \cap B$ est une partition de $A \cap B$, tu dois donc montrer trois choses :
1- $B_1 \cup B_2 = A \cap B$
2- $B_1 \cap B_2 = \emptyset$
3- $B_1 \neq \emptyset$ et $B_2 \neq \emptyset$
Normalement, tu devrais pouvoir faire ça (ce sont des manipulations très simples d'unions et d'intersections d'ensembles).
$B_1$ et $B_2$ étant des fermés (pourquoi ?), ça contredit alors le fait que $A \cap B$ est connexe.
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#7 07-12-2016 11:42:02
- Leraoul
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Re : connexite
en faite B1 n'est pas forcément un ouvert de A inter B. c'est une remarque. mais regarde mon raisonnement stp. je prendre deux de ouverts O1 et O2 de E disjoint. tel que A soit contenu dans l'union. ces deux ouverts la couvre A inter B. par connexité de A inter B. A inter B est contenu soit dans O1 soit dans O2. si je réussite à fabriquer un ouvert de A union B tel que A union B soit contenu dans la réunion disjoint de O1, O2 et cet ouvert que j'appelle O. alors le problème est fini. donc je ne sait si peux m'aider à fabriquer cet ouvert là.
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#8 07-12-2016 15:46:47
- Yassine
- Membre
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- Messages : 1 090
Re : connexite
---EDIT---
Je recommence, j'ai dit des bêtises.
Bon,
Les fermés de $A$ sont les compléments dans $A$ des ouverts de $A$.
Un ouvert de $A$ est de la forme $A\cap\mathcal{O}$ où $\mathcal{O}$ est un ouvert de l'espace d'origine.
Donc, les fermés de $A$ sont de la forme $A\setminus A\cap\mathcal{O}$
On sait que pour deux parties $E$ et $F$, $E\setminus F = E \cap F^c$ où $F^c$ est le complémentaire de $F$. Donc les fermés de $A$ sont de la forme $A \cap \mathcal{O}^c$ où $\mathcal{O}$ est un ouvert.
Les fermés de $A$ sont donc de la forme $A \cap \mathcal{F}$ où $\mathcal{F}$ est un fermé de l'espace d'origine.
Je note $\mathcal{F} := A \cup B$ qui est un fermé.
Supposons $A \cap B$ vide, alors $\mathcal{F}_A := A \cap \mathcal{F}$ et $\mathcal{F}_B := B \cap \mathcal{F}$ sont deux fermés de $A\cup B$ disjoints et de plus $A \cup B = \mathcal{F}_A \cup \mathcal{F}_B$, ce qui contredit le fait que $A\cup B$ est connexe.
Donc $A \cap B \neq \emptyset$
Supposons maintenant que $A$ n'est pas connexe.
Il existe donc deux fermés $\mathcal{F}_1$ et $\mathcal{F}_2$ tels que (je note $A_i :=A \cap \mathcal{F}_i):
(1) $A_1 \cap A_2 = \emptyset$
(2) $A = A_1 \cup A_2$.
Je note $B_1 := A_1 \cap B = \mathcal{F}_1 \cap (A\cap B)$ et $B_2 := A_2 \cap B = \mathcal{F}_2 \cap (A\cap B)$
$B_1$ et $B_2$ sont des fermés de $A\cap B$.
Alors $B_1 \cap B_2 = A_1 \cap A_2 \cap B = \emptyset$
et $B_1 \cup B_2 = (A_1 \cap B) \cup (A_1 \cap B) = (A_1 \cup A_2) \cap B = A \cap B$.
Ce qui contredit la fait que $A \cap B$ est connexe.
Dernière modification par Yassine (07-12-2016 21:42:04)
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