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tina

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autre équation dans D'

Bonjour,
je cherche à résoudre l'équation [tex]xT=g[/tex] où T et g sont des distributions.
J'ai trouvé une solutions qui dit qu'il faut commencer par considérer une fonction test [tex]\psi[/tex] telle que [tex]\psi(0)=1[/tex], puis on pose
[tex]\theta(x)= \varphi(x) + \varphi(0) \psi(x)[/tex]
puis onva écrire [tex]\varphi[/tex] en fonction de [tex]\theta[/tex] et [tex]\psi[/tex].
Bref, je ne comprend pas ce choix et la logique de la solution.
Est-ce qu'il y a une manière logique de résoudre cette équation? S'il vous plaît.
Merci pour votre aide.

Yassine

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Re : autre équation dans D'

Bonsoir,
C'est vrai que ça a l'air parachuté !
L'idée générale est la suivante : on a envie de diviser par $x$, mais on sait que la fonction $1/x$ n'est pas localement intégrable.
On a un résultat général qui dit que si on a une fonction $f \in C^\infty$ telle que $f(0)=0$, alors on peut prolonger la fonction $\frac{f(x)}{x}$ en une fonction $C^\infty$. Si le fonction $f$ est à support compact, il en sera de même de $\frac{f(x)}{x}$.
Donc, pour toute fonction test telle que $\phi(0)=0$, on peut calculer $\langle g, \frac{\phi(x)}{x}\rangle$
On aura alors $\langle T, \phi \rangle = \langle xT, \frac{\phi(x)}{x} \rangle = \langle g, \frac{\phi(x)}{x}\rangle$

On connait donc $T$ pour toutes le fonctions test telle que $\phi(0)=0$.
Pour les autres fonctions test, on a envie de retrancher $\phi(0)$ pour respecter cette condition, mais on perd le support compact. C'est de là que vient l'idée de retrancher $\phi(0)$ mais uniquement au voisinage de $0$. On prend donc une fonction plateau $\psi$ qui vaut $1$ sur $[-1,1]$ (les bornes ne sont pas importantes, il faut que ça contienne $0$).
On a donc, pour une fonction test $\varphi$ quelconque, la fonction $\Phi = \varphi - \varphi(0)\psi$ qui est une fonction test et qui vérifie la condition $\Phi(0)=0$, on peut donc calculer $\langle T, \Phi\rangle$.

tina

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Re : autre équation dans D'

Merci, c'est déjà plus clair, mais j'ai quelques questions s'il vous plaît.
1. Pourquoi est-ce qu'on pense à diviser par x? Poir moi, le premier reflexe est d'écrire ceci:
[tex]
<xT, \varphi> = <T,x \varphi> = <g,\varphi>.
[/tex]

2. Quand vous trouvez que pour toute fonction test [tex]\varphi[/tex] telle que [tex]\varphi(0)=0[/tex], on a
[tex]
<T,\varphi> = <g,\frac{\varphi}{x}>
[/tex]
pour traiter le cas général, je ne comprend pas pourquoi on pense à retrancher [tex]\varphi(0)[/tex] ni pourquoi on fait intervenir une fonction platau et pourquoi utiliser le [tex]\Phi[/tex].

Je vous remercie par avance pour votre aide.

Yassine

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Re : autre équation dans D'

Bah on pense à diviser par $x$ (ou multipler par $\frac{1}{x}$) car si c'était une équation ordinaire entre fonctions $xf = g$, c'est ce qu'on aurait fait.

Ce qu'on cherche, c'est à calculer $\langle T,\varphi \rangle$ pour toute fonction test. On a une "recette" pour le faire quand $\varphi(0)=0$. Donc, si on nous donne une fonction qui ne satisfait pas cette condition, on essaie de s'y ramener. Comme je l'ai expliqué, le premier réflexe est de retrancher $\varphi(0)$ et donc de poser $\psi(x)=\varphi(x) - \varphi(0)$, mais on n'obtient pas une fonction test. D'où le recours à la fonction plateau pour ne retrancher $\varphi(0)$ qu'au voisinage de $0$.

tina

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Re : autre équation dans D'

1. Alors c'est peut être bizzare, mais moi je pense à retrancher et ajouter [tex]\varphi(0)[/tex], et pas seulement retrancher [tex]\varphi(0)[/tex]. Pourquoi ne pas l'avoir ajouter au lieu de le retrancher?

2. Pour être dans le cas général alors, on applique la distrbution inconnue [tex]T[/tex] à la fonction test [tex]\Phi= \varphi(x) - \varphi(0)\psi(x)[/tex], et donc pour trouver [tex]T[/tex] on calculer [tex]<T, \Phi>[/tex], et on a:
[tex]
<T,\Phi> = <T,\varphi> - \varphi(0) < T,\psi>
             = <xT, \dfrac{\varphi}{x}> - \varphi(0) < x T,\dfrac{\psi}{x}>
            = <g, \dfrac{\varphi}{x}> - \varphi(0) <g,\dfrac{\psi}{x}>
[/tex]
donc
[tex]
<T,\Phi>= <g, \dfrac{\varphi(x)}{x}- \varphi(0) \dfrac{\psi(x)}{x}>
[/tex]
c'est ok?
et comment on est sûr que
[tex]\dfrac{\varphi(x)}{x}- \varphi(0) \dfrac{\psi(x)}{x}[/tex]
est une fonction test sur [tex]\mathbb{R}[/tex]?
S'il vous plaît.

Je vous remercie par avance pour votre aide.

Yassine

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Re : autre équation dans D'

Bonjour,
1- S'il n'y avait pas de problème de division par $0$, l'équation serait simple à résoudre. Par exemple, l'équation $e^xT = G$ se résout simplement comme $T = e^{-x}G$. C'est pour ça que je disais qu'on a "envie" d'écrire $T = x^{-1}G$, ce qui n'est pas possible car $x^{-1} \notin C^\infty(\mathbb{R})$.

2 - Tu es allé trop loin !
Il faut d'abord remarquer $x\delta_0 = 0$, donc si $T$ est solution, alors $T+c\delta_0$ est également solution. On ne connaitra la solution qu'à une constante près.
il faut donc écrire :
$\displaystyle <T,\Phi> = <T,\varphi> - \varphi(0) < T,\psi> = <xT, \dfrac{\varphi}{x}> + \varphi(0) c
            = <g, \dfrac{\varphi}{x}> + <c\delta_0,\varphi>$
où j'ai noté $c = -< T,\psi>$.

tina

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Re : autre équation dans D'

S'il vous plaît,
1. Pourqui la fonction [tex]\varphi(x)-\varphi(0)[/tex] n'est pas une fonction test?
2. Pourquoi avoir parlé de l'équation [tex]x \delta =0[/tex], et pourquoi cette équation est vraie dans le cas [tex]x \neq 0?[/tex]
Je vous remercie par avance.

Yassine

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Re : autre équation dans D'

1- on suppose $\varphi(0) \neq 0$ et on note $\psi = \varphi - \varphi(0)$.
Soit $R > 0$ tel que $supp(\varphi) \subset [-R, R]$, donc, $\forall x, |x| > R \Rightarrow \varphi(x) = 0 \Leftrightarrow \psi(x)=\varphi(0)$.

Donc $\forall x, |x| > R \Rightarrow \psi(x) \neq 0$, et donc $]-\infty, -R[ \cup ]R,+\infty[ \subset supp(\psi)$, donc $supp(\psi)$ n'est pas compact.

2- Je note $f$ la fonction identité $x \mapsto x$.
Soit $\varphi$ fonction test, alors $\langle f\delta, \varphi \rangle  = \langle \delta, f\varphi \rangle = f(0)\varphi(0) = 0$, donc $x\delta = f\delta = 0$.

tina

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Re : autre équation dans D'

Merci beaucoup pour votre aide. Il reste un point c'est qu'avec ça, on ne peut pas determiner la distribution T, on n'a pas assez d'informations sur elle puisque [tex]\psi[/tex] reste une fonction test inconnue, et [tex]\Phi[/tex] aussi. Par exemple si g=H, est-ce qu'on peut détérminer T avec précision?
Merci par avance pour votre aide.

Yassine

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Re : autre équation dans D'

Comme je te l'ai indiqué, $T$ ne sera connue qu'à $c\delta$ près où $c$ est une constante arbitraire.

Donc, on se fixe une fonction plateaux arbitraire qui vaut $1$ en $0$ et on note $G_\psi$ la distribution définie par
$\langle G_\psi, \varphi \rangle = \langle g, \frac{\varphi - \varphi(0)\psi}{x} \rangle$ (cette distribution est bien définie).

On procéde par analyse/synthèse.

On a d'une part $xT=g \Rightarrow T = G_\psi + c\delta$ (c'est ce que montre notre calcul).
Et, par ailleurs, toute distribution de la forme $G_\psi + c\delta$ vérifie bien $xT = g$

Donc, toutes les solution sont de la forme $G_\psi + c\delta$.
Le fait que $\psi$ soit arbitraire est en réalité compensé par le fait qu'on ne connait la distribution qu'à $c\delta$ près.

tina

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Re : autre équation dans D'

Je pense qu'il y a une erreur dans le post 6. On ne peut pas écrire
$\displaystyle <T,\Phi> = <T,\varphi> - \varphi(0) < T,\psi> = <xT, \dfrac{\varphi}{x}> + \varphi(0) c
            = <g, \dfrac{\varphi}{x}> + <c\delta_0,\varphi>$

puisqu'on est dans le cas général, [tex]\varphi[/tex] est quelconque, et donc [tex]\dfrac{\varphi(x)}{x}[/tex] n'est pas une fonction test. Non?

Je vous remercie pour votre aide.

Yassine

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Re : autre équation dans D'

Probablement,

Je recommence : On part d'une fonction test quelconque $\varphi$ et on pose $\Phi = \varphi - \varphi(0)\psi$.
Alors $\Phi$ est une fonction test qui vérifie $\Phi(0) = 0$. On sait donc calculer $\langle T, \Phi\rangle$ :

$\langle T, \Phi\rangle = \langle xT, \frac{\Phi(x)}{x}\rangle = \langle g, \frac{\Phi(x)}{x}\rangle$

Maintenant, par linéarité, on a $\langle T, \Phi\rangle = \langle T, \varphi - \varphi(0)\psi\rangle = \langle T, \varphi\rangle - \varphi(0)\langle T, \psi\rangle$
Et donc : $\langle T, \varphi\rangle = \langle T, \Phi\rangle + \varphi(0)\langle T, \psi\rangle$
Soit encore $\langle T, \varphi\rangle = \langle g, \frac{\Phi(x)}{x}\rangle + c\langle \delta, \varphi \rangle$

tina

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Re : autre équation dans D'

Vioilà, donc à partir de là
$\langle T, \varphi\rangle = \langle g, \frac{\Phi(x)}{x}\rangle + c\langle \delta, \varphi \rangle$
on a que [tex]\Phi[/tex] est quelconque, et [tex]\varphi[/tex] aussi est quelconque. Donc on n'a pas réussi à obtenir la distribution [tex]T[/tex]. C'est ce point que je n'arrive pas à comprendre.
Je vous remercie par avance pour votre aide.

Yassine

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Re : autre équation dans D'

Désolé, mais je ne comprends pas ton incompréhension !

$g$ est connue, donc, pour toute fonction test $\alpha$ je sais calculer $\langle g, \alpha \rangle$.
$\psi$ est supposée être choisie une fois pour toute. et on se donne une constante $c$ quelconque.
$T$ est entièrement définie si, pour une fois donnée une fonction test $\varphi$ quelconque, je sais calculer $\langle T, \varphi \rangle$

Donc, soit $\varphi$ fonction test quelconque, donc à ce stade, je peux utiliser $\varphi$ puisqu'on me la donne. Je n'ai par contre pas le droit de supposer qu'elle vérifie des propriétés spéciales. Je sais juste calculer $\varphi(x)$ pour tout $x$ et je sais que $\varphi$ est une fonction test. Je n'aurais par exemple pas le droit de supposer que $\int \varphi d\mu = 1$ ou que $\frac{\varphi(x)}{x}$ est une fonction test$ (je donne des exemples).

je connais donc $\varphi(0)$ et partant $\langle \delta, \varphi \rangle$
je sais également calculer $\alpha(x) = \frac{\varphi(x) - \varphi(0)\psi}{x}$, donc je connais la fonction $\alpha$ et je sais que c'est une fonction test. Je sais donc calculer $\langle g, \alpha \rangle = $\langle g, \frac{\varphi(x) - \varphi(0)\psi}{x} \rangle$

Donc, si on me donne une fonction $\varphi$ et une constante $c$, je sais calculer la quantité
$\langle g, \frac{\varphi(x) - \varphi(0)\psi}{x} \rangle +  c\langle \delta, \varphi \rangle$
Ce qui exactement l'expression de $\langle T, \varphi \rangle$.

Donc, si on me donne $\varphi$ quelconque, je sais calculer $\langle T, \varphi \rangle$.

tina

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Re : autre équation dans D'

Mais le problème est qu'on ne sait pas calculer explicitement
[tex]
<g,\dfrac{\Phi}{x}>
[/tex]

Yassine

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Re : autre équation dans D'

Bah si, c'est une donnée du problème.

Regardons le cas des fonctions classiques : Soit $g \in C^\infty(\mathbb{R})$ trouver $f$ telle que $xf = g$.
Solution : on a une solution dans $C^\infty(\mathbb{R}^*)$ donnée par $\forall x\in \mathbb{R}^*, f(x)=\frac{g(x)}{x}$.
Tu ne vas pas dire : mais on ne sais pas calculer $g(x)$ !

Donc, pareil pour les distribution, on veut résoudre $xT=g$ où l'inconnue est $T$, c'est à dire que $g$ est connue, i.e. on sais calculer $<g,\phi>$ pour toute fonction $\phi$. C'est une équation paramétrique, de paramètre $g$.

tina

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Re : autre équation dans D'

1. et l'écriture
[tex]
\dfrac{\Phi}{x}= \dfrac{\varphi}{x} - \varphi(0) \dfrac{\psi}{x}
[/tex]
n'est pas permise puisqu'on ne peut pas diviser sur x pour tout x. non?

2. et on ne peut pas calculer
[tex]
<g,  \dfrac{\varphi}{x} - \varphi(0) \dfrac{\psi}{x}>
[/tex]
puisque justement, on ne connait pas [tex]\psi[/tex]. Dans le cas où par exemple g=H, que vaudrai
[tex]
<g,  \dfrac{\varphi}{x} - \varphi(0) \dfrac{\psi}{x}>
[/tex]?
s'il vous plaît

tina

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Re : autre équation dans D'

En fait on ne connaît ni \psi ni \varphi. alors ce que vous avez noté [tex]G_{\psi}[/tex] est une distribution en fonction de [tex]\psi[/tex], et \psi change à chaque fois que \varphi change. Non?
On qu'on devrait trouvé [tex]T[/tex] appliqué à une seule fonction test qui est [tex]\varphi[/tex]. Non?
D'autre par, on a
[tex]
\dfrac{\Phi}{x}= \dfrac{\varphi}{x}- \varphi(0) \dfrac{\psi}{x}
[/tex]
mais comment on peut diviser sur x? et si x=0?

Je vous remercie pour votre aide.

Yassine

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Re : autre équation dans D'

$\psi$ est un choix qu'on s'est fixé au départ et qui ne bouge plus. C'est un peu comme dans un espace vectoriel, on choisit une base et après on peut exprimer des vecteurs par rapport à cette base.
Donc $G_\psi$ dépend de $\psi$, mais pas du tout de $\varphi$

Par ailleurs, l'écriture $\displaystyle \dfrac{\Phi}{x}= \dfrac{\varphi}{x} - \varphi(0) \dfrac{\psi}{x}$ est incorrecte. La seule écriture qui fait du sens est $\displaystyle \dfrac{\Phi}{x}= \dfrac{\varphi - \varphi(0)\psi}{x}$.
Pour une fonction $f \in C^\infty(\mathbb{R})$,  la fonction $\dfrac{f(x)}{x}$ n'est $C^\infty(\mathbb{R})$ qu'à la seule condition que $f(0)=0$. Dans ce cas, on peut définir un prolongement $C^\infty(\mathbb{R})$, appelons le $\displaystyle \bar{f}_{\frac{1}{x}}$ définie par
$\displaystyle \forall x \neq 0, \bar{f}_{\frac{1}{x}}(x) = \dfrac{f(x)}{x}$ et par $\displaystyle \bar{f}_{\frac{1}{x}}(0) = f'(0)$. Pour ne pas alourdir la notation, on convient d'écrire $\dfrac{f(x)}{x}$, sachant que ça n'a de sens que parce que $f(0)=0$.

Dans le cas où $g=H$, on a alors
$\displaystyle \langle H, \dfrac{\varphi - \varphi(0)\psi}{x}\rangle = \int_0^{+\infty} \dfrac{\varphi(x) - \varphi(0)\psi(x)}{x}dx$
Soit encore $\displaystyle \langle H, \dfrac{\varphi - \varphi(0)\psi}{x}\rangle = \int_0^{+\infty} \dfrac{\varphi(x) - \varphi(0)}{x}dx - \varphi(0)\int_0^{+\infty} \dfrac{\psi(x) - \psi(0)}{x}dx$
(j'ai utilisé le fait que $\psi(0) = 1$).
Je note maintenant $C = \int_0^{+\infty} \dfrac{\psi(x) - \psi(0)}{x}dx$ (c'est une constante indépendante de $\varphi$).
On a alors $\displaystyle \langle H, \dfrac{\varphi - \varphi(0)\psi}{x}\rangle = \langle {\rm vp}\frac{1}{x}, \varphi \rangle - C\langle \delta, \varphi\rangle$

tina

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Re : autre équation dans D'

mais [tex]<vp \dfrac{1}{x}, \varphi>[/tex] esr une limite. Non? Où est passée la limite? S'il vous plaît.

Yassine

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Re : autre équation dans D'

Bonjour,
D'abord, il y a une coquille, je voulais écrire $\langle {\rm vp}^+\frac{1}{x}, \varphi \rangle$ pour signifier la "partie positive" de la valeur principale.
Pour ta question sur la limite, quand une fonction définie sur $]a,b]$ peut être prolongée par continuité en $a$, on écrie $\displaystyle \int_a^b f(x)dx$ au lieu de $\displaystyle \lim_{t \to a+} \int_t^b f(x)dx$

Une définition équivalente de la valeur principale est $\displaystyle \langle {\rm vp}\frac{1}{x}, \varphi \rangle = \int_0^{+\infty}\frac{\varphi(x)-\varphi(-x)}{x}dx$

tina

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Re : autre équation dans D'

S'il te plaît, est ce que tu peux me montrer un livre ou une référence où l'on trouve la définition équivalente de la valeur principale eyt la définitrion de la partie positive de la valeur principale?
Je vous remercie par avance pour votre aide.

Yassine

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Re : autre équation dans D'

La notion de "valeur principale positive" n'existe pas de manière "académique", c'est une notation de mon cru, par analogie avec la définition de la valeur principale
(j'écris $\displaystyle \langle {\rm vp}\frac{1}{x}, \varphi \rangle = \int_0^{+\infty}\frac{\varphi(x)-\varphi(-x)}{x}dx = \int_0^{+\infty}\frac{\varphi(x)-\varphi(0)}{x}dx + \int_{-\infty}^0\frac{\varphi(x)-\varphi(0)}{x}dx$

Pour une référence, tu peux chercher le poly de F. Golse, "Distributions, analyse de Fourier, equations aux derivees partielles" (ici). Cherche "valeur principale".

tina

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Re : autre équation dans D'

Mais je trouve qu'il y a un problème, car
[tex]\displaystyle\int_0^{+\infty} \dfrac{\varphi(x)- \varphi(0)}{x} dx[/tex]
ne converge pas au voisinage de [tex]+\infty[/tex], sauf si [tex]\varphi(0)=0.[/tex] Non?

Yassine

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Re : autre équation dans D'

Oui, tu as raison, j'ai été un peu vite.
Il faut d'abord écrire $\displaystyle \langle {\rm vp}\frac{1}{x}, \varphi \rangle = \int_0^{R}\frac{\varphi(x)-\varphi(-x)}{x}dx$, avec $\rm{supp}(\varphi) \subset [-R,R]$ puis d'écrire ensuite
$\displaystyle \int_0^{R}\frac{\varphi(x)-\varphi(-x)}{x}dx = \int_0^{R}\frac{\varphi(x)-\varphi(0)}{x}dx + \int_{-R}^0\frac{\varphi(x)-\varphi(0)}{x}dx$