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tina

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équation dans D'

Bonjour,
comment on résout dans [tex]\mathcal{D}'(\mathbb{R})[/tex] l'équation suivante:
[tex]T'' - 4T = (\delta)'[/tex]?
(et la presence du 4 m'intrigue, pourquoi 4 exactement?)
Je vous remercie par avance pour votre aide.

Yassine

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Re : équation dans D'

Bonjour,
La méthode générale est de résoudre l'équation homogène $T''-4T=0$, puis ensuite de trouver une solution particulière. Les solutions générale seront donc la somme de cette solution particulière et d'une solution de l'équation homogène.

Pour la solution particulière, pense qu'il faudra chercher une solution de la forme $gH$ où $H$ est la fonction de Heaviside et $g$ une fonction $C^\infty$.
Je ne pense pas que $4$ soit particulier.

tina

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Re : équation dans D'

Oui, je connais bien la méthode générale. Mes difficultées sont:
1. Comment trouver la solution générale de [tex]T" - 4T[/tex]? (elle du second ordre)
2. Comment on sait à quoi va ressembler la solution particulière?
Merci par avance pour votre aide.

Yassine

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Re : équation dans D'

ça se résout comme une EDO normale : $T = C_1e^{2x} + C_2 e^{-2x}$

Pour la solution particulière, je t'ai donné une indication : chercher une solution de la forme $gH$

Dernière modification par Yassine (27-11-2016 21:48:04)

tina

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Re : équation dans D'

Pour la solution générale de l'équation homogène associée, c'est ok.
Pour la solution particulière, j'ai deux questions:
1. Comment on voit que la solution particulière est de la forme [tex]gH[/tex]?
2. Alors je suppose qu'il faut déterminer le g. Soit [tex]\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R})[/tex]. On a:
[tex]
<(gH)'', \varphi> - 4 <gH,\varphi> = <gH,\varphi''> - 4 <gH,\varphi>=0
[/tex]
à partir de ce point je bloque complétement. Comment raisonner? S'il vous plaît.

Je vous remercie par avance pour votre aide.

Yassine

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Re : équation dans D'

1- On ne "voit" par forcément que c'est de la forme $gH$. On sait qu'on doit tomber sur $\delta'_0$ et on sait que $H'=\delta_0$. On se dit donc que ça peut aider.

2- Si la solution est de la forme $gH$, alors $(gH)' = g'H + g(0)\delta_0$ et $(gH)'' = g''H + g'(0)\delta_0 + g(0)\delta'_0$
Il suffit alors d'exprimer le fait que $(gH)'' - 4gH = \delta'_0$

Dernière modification par Yassine (28-11-2016 09:28:07)

tina

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Re : équation dans D'

Ca nous donne que
[tex]
g'' H + g'(0) \delta + g(0) \delta' - 4g H = \delta'
[/tex]
il faut donc determiner la fonction g pour que le membre de droite soit égale à [tex]\delta'.[/tex]
Pour ca, il faut que [tex]g(à)=1[/tex] et [tex]g''H -g H =  [/tex]?
comment on trouve le g? s'il vous plaît

Yassine

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Re : équation dans D'

On cherche une solution particulière !
Il suffit d'avoir $g''-4g = 0$, $g'(0)=0$ et $g(0)=1$, soit une EDO du second ordre avec deux conditions initiales.

tina

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Re : équation dans D'

Ok, c'est comme ça que j'ai pensé. Je trouve une solution particulière
[tex]
T_p= \dfrac{1}{2} H (e^{2x} + e^{-2x})
[/tex]
et donc la solution générale de l'équation est
[tex]
T= c_1 e^{-2x} + c_2 e^{2x} + \dfrac{1}{2} H (e^{2x} + e^{-2x})
[/tex]
où [tex]c_1[/tex] et [tex]c_2[/tex] sont deux constantes quelconques.
C'est ok?
Je vous remercie pour votre aide.

tina

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Re : équation dans D'

J'ai une autre équation un peu compliquée pour moi s'il vous plaît.
Comment trouver toute les distributions T telle que [tex]x^n T=0[/tex], où [tex]n \in \mathbb{N}[/tex], et comment en déduire la solution générale de [tex]x^n T= \delta[/tex]?

Je vous remercie par avance pour votre aide.

Dernière modification par tina (28-11-2016 13:54:46)

Yassine

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Re : équation dans D'

Sur l'autre fil, je t'ai montré comment résoudre $xT=g$ pour $g$ distribution quelconque.
Tu sais donc résoudre $xT=0$. Disons que la solution est $T=s_1$
Ensuite, pour $x^2T=0$, tu peux la récrire $xL=0$ où $L=xT$, tu as donc comme solution $L=s_1$, ce qui fait une nouvelle équation $xT=s_1$, que tu sais également résoudre ($g=s_1$).
Tu fais ça de proche en proche.
Je te laisse formaliser la récurrence (les $s_i$ s'écrivent assez simplement).

tina

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Re : équation dans D'

Par réccurence, je trouve que T qui vérifie [tex]x^n T=0[/tex] est la solution de [tex]x^{n-1}T=s_1[/tex] où [tex]s_1[/tex] est solution de [tex]x L=0[/tex].
Mais ça m'a l'air trop compliqué, en fait je n'ai aucune idée du schéma à suivre pour trouver la solution. Aidez moi à comprendre s'il vous plaît.

Yassine

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Re : équation dans D'

Il faut y aller par étapes.
On a vu que $xT=0$ donne $T=c\delta$ où $c$ est une constante arbitraire.

On a $x^2T=0 \Leftrightarrow x(xT)=0$ et donc $xT = c\delta$.
Il faut donc résoudre $xT = c\delta$

Tu peux t'inspirer de ma réponse sur l'autre fil pour résoudre cette équation. Normalement, tu devrais voir le pattern de la récurrence qu'il faudra montrer.