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sbl_bak

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Opérateur compact

Bonjour,

Soit $K$ : $[0,1].[0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ une fonction continue. Pour $f\in C([0,1])$ on a

$\displaystyle (Tf)(x) = \int_{0}^{x} K(x,t)f(t)dt $

Je dois montrer que $\forall x,x'\in[0,1]$

$\displaystyle|(Tf)(x)-(Tf)(x') \leq (||K||_{\infty}|x-x'|+ sup|K(x,t)-K(x',t).||f||_{\infty}$

Je ne vois pas bien par ou commencer. Auriez vous une idée ?

Yassine

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Re : Opérateur compact

Bonsoir,
C'est quoi $C([0,1])$ (continues ?)
Dans ton expression, il manque une barre de valeur absolue et une parenthèse.

De manière générale, sur ce genre d'exercice, on découpe l'intégrale en morceaux, en utilisant $\int_0^x = \int_0^{x'} + \int_{x'}^x$
Tu regroupes les termes. Pour l'intégrale $\int_{x'}^x$, tu majores l'intégrande, ce qui fait apparaître le $|x-x'|$, et pour les termes  $\int_0^x$ et $\int_0^{x'}$ tu les majores par $\int_0^1$ puis tu majores l'intégrande.

Dernière modification par Yassine (11-11-2016 20:06:05)

sbl_bak

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Re : Opérateur compact

Oui continue!
D'accord merci pour l'indication. Je vais travailler dessus et je reviens pour le resultat.
Encore une fois merci Yassine.

sbl_bak

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Re : Opérateur compact

Bonjour,

Je ne suis pas sur de ce que je fait ie :
$\displaystyle (Tf)(x) = \int_{0}^{x} K(x,t)f(t)dt$
$\displaystyle (Tf)(x) = \int_{0}^{x'} K(x',t)f(t)dt$

J'exprime maintenant la différence à partir $\int_0^x = \int_0^{x'} + \int_{x'}^x$

$\displaystyle (Tf)(x) - (Tf)(x') = \int_{0}^{x'} K(x,t)f(t)dt + \int_{x'}^{x} K(x,t)f(t)dt - \int_{0}^{x} K(x',t)f(t)dt - \int_{x}^{x'} K(x',t)f(t)dt$

On regroupe donc les termes,
$\displaystyle (Tf)(x) - (Tf)(x') = \int_{0}^{x} K(x,t)f(t)dt - \int_{0}^{x} K(x',t)f(t)dt  - \int_{x}^{x'} K(x',t)f(t)dt$

$\displaystyle (Tf)(x) - (Tf)(x') = \int_{0}^{x}( K(x,t) - K(x',t))f(t)dt - \int_{x}^{x'} K(x',t)f(t)dt$

Passons à la majoration :
$\displaystyle |(Tf)(x) - (Tf)(x')| \leq |\int_{0}^{x}(K(x,t) - K(x',t))f(t)dt| + |-\int_{x}^{x'} K(x',t)f(t)dt|$
                                              $\displaystyle \leq |\int_{0}^{x}(K(x,t) - K(x',t))f(t)dt| + |\int_{x'}^{x} K(x',t)f(t)dt|$
                                              $\displaystyle \leq \int_{0}^{x}sup_{t\in [0,1]}|(K(x,t) - K(x',t))|sup_{t\in [0,1]}|f(t)|dt + |\int_{x'}^{x}sup_{t\in [0,1]}|K(x',t)|.sup_{t\in [0,1]}|f(t)|dt$

d’où $\displaystyle (Tf)(x) - (Tf)(x') \leq |1-0|.||f||_{\infty} sup_{t\in [0,1]}|(K(x,t) - K(x',t)) + |x-x'|.||K||_{\infty}.||f||_{\infty}$

Je ne suis pas trop alaise avec ce que j'ai fait au niveau des sup sous le signe intégrale.

------

La suite de l'exercice est de montrer que T est compact.
Je vois deux approches :
1iere approche :
1 _ soit suite $(f_n)$ inclus dans la boule unité
2 _Il faut donc montrer que $(Tf_n)$ possède une sous-suite
3_ Il faut montrer que $(Tf_n)$ est équicontinue et utiliser le Théorème d'Ascoli.
4 _Je pense qu'il faudra conclure avec Bolzano-Wieistrass.

2ieme approche
1 _ On vérifie que $K$ est équicontinue
2 - On vérifie de $Tf$ est uniformément continue
3 _ On vérifie que $Tf$ est linéaire
4 _ on montre que la boule $B_{C([0,1])}$ est bornée dans $C([0,1])$ , on sait que l'opérateur est compact si l'image par T de la est relativement compacte.

Pouvez vous me dire quelle approche prendre?

Merci d'avance

Yassine

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Re : Opérateur compact

Bonjour,
Il a quelques erreurs dans tes développements :
1) Juste après 'On regroupe les termes' : Les bornes du premier terme du membre de droite sont $\int_0^{x'}$ et il te manque un quatrième terme : $-\int_x^{x'}K(x',t)f(t)dt$.
Du coup, ça modifie le reste (attention, $\int_x^{x'} = -\int_{x'}^x$ !)  et j'ai l'impression que ça introduit un facteur $2$ que je n'ai pas vu la formule initiale.

Pour les majorations, les règles à utiliser sont :
$\displaystyle |\int_a^b f(t)dt| \le \int_a^b |f(t)|dt$
$f \ge 0$ et $\displaystyle b \le c \Rightarrow \int_a^b f(t)dt \le \int_a^c f(t)dt$
$\displaystyle f \le g \Rightarrow \int_a^b f(t)dt \le \int_a^b g(t)dt$

Pour la fait que ce soit compact, je n'ai pas fait d'analyse fonctionnelle, je n'ai pas vraiment d'idée. J'opterai pour la deuxième approche (proche de la définition).

sbl_bak

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Re : Opérateur compact

Bonjour Yassine,
Je suis d'accord avec toi il y a un terme qui manque, c'est oubli de ma part.

Par contre, je me rend également compte si l'on ajoute le terme manquant cela va nous faire un terme supplémentaire car $\int_x^{x'} = -\int_{x'}^x$.
Je suis d'accord avec toi il y a pas de facteur 2 dans la relation initiale. Donc je ne vois pas bien comment arriver au résultat : $\displaystyle|(Tf)(x)-(Tf)(x') \leq (||K||_{\infty}|x-x'|+ sup|K(x,t)-K(x',t)).||f||_{\infty}$

Vu que tu me fait des rappels sur les majorations, je suppose ce que j'ai fait n'est pas bon, non?

Yassine

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Re : Opérateur compact

Bonsoir,
Je n'ai pas examiné dans le détail tes majorations, je te faisais des rappels car tu disais que tu n'étais pas à l'aise avec les manipulation hors et sous le signe somme. Je te redonnais le kit de survie minimal dont tu as besoin ;-)

Pour la facteur $2$, en tant que tel, il n'est pas gênant (qu'on ait $\|K\|_\infty|x-x'|$ ou $2\|K\|_\infty|x-x'|$) ne devrait rien changer à la suite vu qu'on fera tendre $|x-x'| \to 0$). Mais c'est gênant que ça ne corresponde pas à l'énoncé.

Refais les calculs au propre et on verra ensuite.

Yassine

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Re : Opérateur compact

Bonsoir,

Je pense que je t'ai donné la mauvaise indication pour arriver au résultat souhaité. Mon indication permet une majoration qui est à mon avis suffisante pour arriver à la compacité de l'opérateur, mais qui ne correspond pas à ce qui est demandé.

J'efface et je recommence :
On écrit :
$\int_0^x K(x,t)f(t)dt - \int_0^{x'} K(x',t)f(t)dt = \int_0^x \left[K(x,t)-K(x',t)\right]f(t)dt + \int_0^x K(x',t)f(t)dt -\int_0^{x'} K(x',t)f(t)dt$
Soit encore :
$\int_0^x K(x,t)f(t)dt - \int_0^{x'} K(x',t)f(t)dt = \int_0^x \left[K(x,t)-K(x',t)\right]f(t)dt + \int_{x'}^x K(x',t)f(t)dt$

Et après, ça devrait aller tout seul !

Dernière modification par Yassine (14-11-2016 22:07:14)