besoins d'aide en maths (lycée TS)

besoinaide · 11-11-2016 18:12:54

Bonjour je ne comprend pas un exercice de maths voici l’Énoncé:

On nomme entier de Gauß tout nombre complexe de la forme k + iℓ, avec k et ℓ sont des entiers relatifs.
1) je dois montrer que la somme de deux entiers de Gauß sont des entiers de Gauß. Pareil pour la différence

2) je dois ici montrer que le produit de deux entiers de Gauß est un entier de Gauß.

3) Enfin déterminer l’écriture algébrique de l’inverse de 2i;
L’inverse d’un entier de Gauß est-il nécéssairement un entier de Gauß ?

Nous sommes en ce moment dans le chapitre des nombres complexe j'ai donc essayer par addition,multiplication de nombres complexes mais je n'arrive pas tout de même a résoudre mon problème.

Pouvez vous m'aidez a comprendre cet exercice, merci d'avance
cordialement,

freddy · 11-11-2016 19:14:14

Salut,

commence par le commencement.
Prends deux entiers de Gauss, fais en la somme et regarde s'il vérifie la définition d'un entier de Gauss !

besoinaide · 11-11-2016 19:41:25

Donc j'avais auparavant realiser ses calculs:

pour la 1) j'ai fait (k+il)+(k+il)
= 2k+ 2il
= 2(k+il)
comme k et l sont des entiers relatifs. La sommes de deux entiers de gauss donc un entier de gauss car 2 est un entier relatif
mais pour la soustration je ne comprend pas comment on peut trouver un entier de gauss car je trouve 0

2) pour la multiplication :
(k+il)(k+il)
c'est une identité remarquable donc = (k+il)² car i²=-1
donc quand on multiplie deux entier de gauss on trouve un entier de gauss au ² donc cela reste un entier de gauss

3) cette question je ne l'a comprend pas du tout

est ce que le debut de mes réponses est correctes je ne suis pas sur du tout merci
mais par rapport a la définition: Il s'agit donc d'un nombre complexe dont la partie réelle et la partie imaginaire sont des entiers relatifs.
l et k sont des entiers relatifs donc cela verifie bien ce qui est dit precedement ?

yoshi · 11-11-2016 19:45:20

Salut,

Bienvenue chez nous...
A refaire : tu dois prendre deux entiers de Gauss différents, soit [tex]k+il[/tex] et [tex]k'+il'[/tex], où [tex] k,l,k';l' \in\mathbb{Z}[/tex]

@+

besoinaide · 11-11-2016 20:09:30

merci beaucoup,
je vais recommencer mes calculs mais quand je prend deux entiers de gauss différents je suis bloquée car cela donne:
(k + il) + (k' +il')
=k+k'+i(l+l')
mais cela ne m'avance en rien je ne sais pas en quoi ce résultat est ou non un entier de Gauss

freddy · 11-11-2016 20:18:16

Re,

que vaut la somme de deux nombres entiers relatifs ? Un autre nombre entier relatif ou non ?

besoinaide · 11-11-2016 20:35:05

re,
la somme de deux entiers relatifs opposé est égale a 0
sinon elle vaut un autre nombre entier relatif non ?

yoshi · 11-11-2016 20:42:45

B'soir,

sinon (..)

Pourquoi sinon ? Parce que 0 est (d'abord) un entier naturel ? Et alors ce n'est pas aussi un relatif ?.
je me dois de te rappeler que : [tex]\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}\subset \mathbb{D}\subset ...[/tex]
Oui, la somme, la différence, le produit de 2 entiers relatifs est toujours un entier relatif (Attention, ce n'est plus vrai avec le quotient !)...

@+

besoinaide · 11-11-2016 20:48:59

oui c'est vrai c'est aussi un entier relatif donc pour répondre a ma question il suffit de dire que la somme de deux nombre de gauss donc de deux entiers relatifs donne un entier relatif mais un entier relatif n'est pas forcement un entier de gauss comment puis je prouver que ce soit un entier de gauss ?

voici mon calcul : On considère deux nombres complexes z = k + il et z' = k' + il'.
Alors : z + z' = (k + il) + (k' + il') = k + il + k' + il'
= (k + k') + i (l + l').
z z' = (k + il) (k' + il') = k + il +k' + il' = (k k') + i (l l').

Dernière modification par besoinaide (11-11-2016 20:50:11)

yoshi · 11-11-2016 21:00:11

Re,

Tu as donné toi-même une définition,
on dit que le complexe k+il est un entier de Gauss si [tex]k,\,l \in \mathbb{Z}[/tex]
Alors :
[tex]k+il+k'+il'= (k+k')+i(l+l')[/tex]
k et k' étant deux entiers relatifs, k+k' en est un aussi,
l et l' étant deux entiers relatifs, l+l' en est un aussi.
Donc le complexe [tex](k+k')+i(l+l')[/tex] qui est tel que (k+k') et (l+l') sont des entiers relatifs est bien un entier de Gauss.

zz'
Non, c'est faux, tu as une curieuse façon de développer :
[tex]zz' = (k+il)(k'+il')=kk'+ikl'+ik'l -ll' = (kk'-ll')+i(kl'+k'l)[/tex]

@+

besoinaide · 11-11-2016 21:22:59

Merci de ton aide, j'ai compris comment prouver que c'etait bien un entier de gauss,
je pense réussir a faire la deuxieme question grace a la meme méthode mais par contre pour la 3 eme : Déterminer l’écriture algébrique de l’inverse de 2i. L’inverse d’un entier de Gauß est-il nécéssairement un entier de Gauß?
l'inverse de 2i c'est 1/ 2i
mais deja pour faire l'ecriture algebrique je sais que z=x+iy mais je sais pas comment trouver celle ci. et donc repondre a la derniere question.

yoshi · 11-11-2016 21:39:51

Re,

J'arrête là pour ce soir et demain, je suis absent une bonne partie de la journée : d'autres prendront le relais...
Ne laisse pas le i au dénominateur :
[tex]\frac{1}{2i}=\frac{1\times i}{2i\times i}=-\frac 1 2 i[/tex] Alors ?

Pour prouver qu'une propriété n'est pas toujours vraie, il suffit de trouver un exemple qui ne marche pas (on dit un "contre-exemple")..
On peut en trouver beaucoup d'autres...

@+

besoinaide · 11-11-2016 21:50:33

re, merci beaucoup de votre aide en tout cas avec ces aides je devrais reussir a finir.
il faudrat donc que je trouve un exemple avec le quel on ne trouve pas un entier relatif mais que peut on trouver comme contre exemple qui ne soit pas un entier naturel ? un entier relatif ?

bonne soirée a toi en tout cas merci beaucoup

freddy · 11-11-2016 21:51:30

Re,

pousse un peu la réflexion : dans quels cas l'inverse d'un entier est-il un entier ? Que dire des autre cas ? Conclure.

besoinaide · 11-11-2016 22:10:19

je suis désolé je ne sais pas j'ai beau chercher je ne trouve pas... l'inverse d'un entier est un entier lorsque le nombre au denominateur est un entier naturel, dans les autres cas je ne sais pas...

pour l'inverse j'ai:
Si z different de 0, l'inverse de z est 1/z = 1 /k+il
= k-il/ (k+il)(k-il)
= k-il /k² -l²
= k / k² -l² -(i(l/ k ²- l²))
.On a multiplié numérateur et dénominateur par le complexe k - il qu'on appelle le conjugué de k + il. Si z et z' sont deux complexes avec z' different de 0, alors z /z ' =z *(1/ z ' ).

Dernière modification par besoinaide (11-11-2016 22:14:42)

freddy · 12-11-2016 08:19:03

Salut,

je ne sais pas si tu connais les entiers naturels, éléments de $\mathbb{N}$, les entiers relatifs, éléments de $\mathbb{Z}$, qui sont des entiers naturels signés, et les nombres rationnels, éléments de $\mathbb{Q}$, qui sont des quotients d'entiers relatifs, dénominateurs non nuls.
On travaille avec les entiers relatifs. Dans ce cas, tu dois savoir que l'inverse d'un entier relatif non nul n'est pas un entier relatif, sauf s'il est égal à 1. Dans les autres cas, c'est un nombre rationnel.
Pour les nombres entiers de Gauss, il en est de même : hormis $1$, $-1$, $i$ et $-i$, les inverses des autres entiers de Gauss ne sont pas des entiers de Gauss (même s'ils sont bien éléments de l'ensemble des nombres complexes $\mathbb{C}$).

As tu vu les notions de loi de composition interne, de groupe, d'anneau, de corps ?

yoshi · 12-11-2016 19:29:40

Salut,

Sais-tu lire entre les lignes ?
C'est volontairement que j'ai employé l'adjectif autres :

Pour prouver qu'une propriété n'est pas toujours vraie, il suffit de trouver un exemple qui ne marche pas (on dit un "contre-exemple")..
On peut en trouver beaucoup d'autres...

Que penses-tu de [tex]z'=\frac{1}{2i}=-\frac 1 2 i = 0+i\times -\frac 1 2[/tex]
Si 0 est bien un entier relatif, crois-tu que [tex]-\frac 1 2 = 0.5[/tex] en soit un, lui ?
Donc [tex]z'=\frac{1}{2i}[/tex] est-il un entier de Gauss ?
Voilà pourquoi on en trouver beaucoup d'autres (des contre-exemple) : pour pouvoir en trouver beaucoup d'autres, il faut logiquement en avoir déjà trouvé au moins un, non ?

En écrivant que j'ai cité plus haut, je m'étais dit que franchement, je ne devrais donner la réponse à une question que j'ai posée, dans la phrase suivante
En plus des exemples donnés, j'ajouterais que même avec 1 ou -1 ce n'est pas gagné d'avance...
En effet :
soit [tex]z = 1+i[/tex], par définition son inverse z', s'il existe est tel que zz'=1
On pose [tex]z'=a+ib[/tex]
On cherche donc a et b tels que [tex](1+i)(a+ib)= 1[/tex]
soit [tex]a+ib+ai-b = 1[/tex]
et encore :
[tex](a-b)+i(a+b) = 1+i\times 0[/tex]
Donc je dois résoudre :
[tex]\begin{cases}a-b&=1\\a+b&=0\end{cases}[/tex]
Ce système peut se résoudre par substitution :
[tex]a+b = 0 \Leftrightarrow a=-b[/tex]
Je remplace a par -b dans la première équation :
[tex]-b-b= 1[/tex] et [tex]b= -\frac 1 2[/tex]
[tex]a = -b = \frac 1 2[/tex]
[tex]z'=\frac 1 2 +i\times -\frac 1 2[/tex] qui n'est pas un entier de Gauss parce que a et b ne sont pas des entiers relatifs...

Cet inverse aurait pu s'écrire [tex]z'=\frac{1}{1+i}[/tex] et je pouvais trouver la forme algébrique de z' par les moyens classiques :
[tex]\frac{1}{1+i}=\frac{1\times (1-i)}{(1+i)(1-i)}=\frac{1-i}{1-i^2}=\frac{1-i}{2}=\frac 1 2 +i\times -\frac 1 2[/tex].
Donc les entiers de Gauss qui ont un inverse sont [tex]1,\,-1,\,i\,-i[/tex] seuls !
Si tu préfères [tex]z=1,\,z=-1,\,z=i,\,z=-i[/tex]

C'est clair cette fois ?

@+

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