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#1 29-10-2016 18:34:07
- sbl_bak
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Majoration-minoration
Bonjour,
Une petite question naive d'analyse.
Comme vous le savez en analyse on calcule généralement par des minoration et/ou majoration.
Il se trouve que je voudrai savoir s'il y a une méthode bien précise pour majorer. Par exemple, faut il utiliser le théorème de accroissement fini systématiquement ou autre (que je ne connais pas)?
Merci d'avance
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#2 29-10-2016 19:46:39
- Yassine
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Re : Majoration-minoration
Bonjour,
Hélas, il n'y a pas une recette unique pour attaquer les problèmes de majoration/minoration. C'est tout un art
Cauchy-Schwarz, Holder, Bienaymé-Tchebychev, ... j'en passe et des extraordinaires !!
Il y a même un livre qui présente cet "art" ici sur Amazon.
Bref, il n'y a que la pratique qui te permettra d'affuter ton sens de la majoration !
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#3 30-10-2016 15:50:35
- sbl_bak
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Re : Majoration-minoration
Bonjour,
Merci encore Yassine.
Dans un exercice je dois montrer la convergence de :
$\exp( {\frac{z}{n}-log(1+\frac{z}{z})})$
La redaction de la correction donnée est :
Soit K un compact de $\mathbb{C}-\mathbb{N}$ : alors pour $n\geq N_K$, on a $sup_{z\in K} \frac{|z|}{n} \leq 1/2$, donc le log est défini.
Je ne comprends pas pourquoi il prennent $sup_{z\in K} \frac{|z|}{n} \leq 1/2$, comment arrive t il à cette majoration?
Merci d'avance
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#4 30-10-2016 18:29:06
- Yassine
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Re : Majoration-minoration
Bonsoir,
ce qui permet d'arriver à ça, c'est le fait que $K$ est un compact, en particulier il est borné, tu peux donc majorer tout $z \in K$. Après, tu pour toujours trouver un $N_K$ qui permette la majoration indiquée.
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#5 30-10-2016 19:30:40
- sbl_bak
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Re : Majoration-minoration
Si je pose $f(t) = t-log(1+t)$ pour $t\in C-\lbrace -1 \rbrace$
On utilise le théorème des accroissement fini et on a $|f'(t)| \leq sup_{t\in [0,x]} |f'(t)|$
Donc $|t-log(1+t)| \leq |t| sup_{t\in [0,x]} |f'(t)|$
Je ne vois donc pas comment arriver à $|f'(t)| \leq 2 |x|$
merci d'avance
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#6 30-10-2016 20:14:59
- Yassine
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Re : Majoration-minoration
Pourrais-tu être plus précis.
Tu dis que $t \in C - \{-1\}$, c'est quoi $C$ ?
Ensuite, tu utilises $x$ sans l'avoir définit, j'imagine que c'est un réel positif (tu mentionnes l'intervalle $[0,x]$)
Qu'as tu tenté pour majorer $f'$ ?
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#11 31-10-2016 11:10:31
- Yassine
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Re : Majoration-minoration
Bonjour,
$f'(t)=1-\frac{1}{t+1}$. Pour $t$ réel, $f'(t) \to +\infty$ quand $t \to -1^+$.
Donc, je pense qu'il y a des donnée supplémentaire dans ton énoncé que tu n'as pas précisées.
Je t'ai demandé quelles conditions y a-t-il sur $x$ par exemple (est-ce que ça a un lien avec le début de ton post où on choisit $N_K$ de manière à avoir $\frac{z}{n} \le 1/2$ ?)
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#12 31-10-2016 11:58:55
- Yassine
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Re : Majoration-minoration
Si c'est lié au début du post, on peut donc supposer $0 < x \le 1/2$.
On a donc par l'inégalité triangulaire $|1+t| \ge 1-|t|$ (l'inégalité triangulaire est moins connue dans ce sens, qui est très utile quand on cherche à minorer, ce qui est le cas ici). Comme $|t| \le |x| \le 1/2$, alors $|1+t| \ge 1/2$.
Je te laisse continuer la majoration de $f'(t)=\frac{t}{1+t}$
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#13 31-10-2016 15:00:10
- sbl_bak
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Re : Majoration-minoration
Merci Yassine de votre aide.
Avant de passer à la majoration de $f'(t)$, je veux être sur de comprendre l'utilisation de l'inégalité triangulaire : $|1+t| \ge 1-|t|$.
On cherche un majorant de $|\frac{1}{1+t}|$, donc il faut trouver un minorant de $|1+t|$
D’après l'inégalité triangulaire : $|a-b| \geq |a| - |b|$
Donc $|1+t| = |1 - (-t)| \geq 1 - |(-t)| = 1 - |t|$, d’où $ |1+t| \geq 1-|t|$
On a $|t| \le |x| \le 1/2$, alors $|1+t| \geq 1 - \frac{1}{2} = 1$ ; d’où $|1+t| \geq \frac{1}{2}$
Je continue par la majoration de $|f'(t)| = \frac{|t|}{|1+t|}$
D’après l'inégalité des accroissements fini :
Si $f : [a,b] \rightarrow \mathbb{R}$, alors $|f'(x)| \leq sup_{x\in ]a,b[} |f'(x)|$
On a vu que $|1+t| \geq \frac{1}{2}$ donc
$\displaystyle |f'(x)| \leq sup_{t\in ]0,1/2[} \frac{|t|}{|1+t|} = (1/2)/(1/2) = 1$ donc $|f'(x)| \leq 1$
A ce niveau, je ne trouve pas le résultat souhaité qui normalement $|f'(t)| \leq 2|x|$
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#14 31-10-2016 17:18:08
- Yassine
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Re : Majoration-minoration
Non, tu as fait une erreur vers la fin.
Donc $|1+t| \geq \frac{1}{2}$, soit $\frac{1}{|1+t|} \leq 2$.
On a alors $|f'(t)| = \frac{|t|}{|1+t|} \leq 2|t|$ et comme $|t| \leq |x|$, on trouve finalement $|f'(t)| \leq 2|x|$.
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