somme d'une suite

kadaide · 26-10-2016 17:36:13

Bonjour

On donne Sn=1+4+7+...+3n+1
Déterminer Sn en fonction de n.

Il semble que Sn est la somme des termes d'une suite arithmétique de premier terme U0=1 et de raison r=3

Preuve:
soit 3n+1 le terme général et 3(n-1)+1 l'avant dernier terme
Alors 3n+1-(3(n-1)+1)=3n+1-3n+3-1=3 ce qui finit la preuve.

Mais je doute un peu...

merci pour vos commentaires

yoshi · 26-10-2016 18:12:24

Salut,

Si tu fais allusion à une démonstration par récurrence, tu dois ;
1. Vérifier que ça marche avec des valeurs simples
2. Supposer que c'est vrai pour n
3. Vérifier l'héritage (passage de à n+1

Vrai pour n donc [tex]U_n=3n+1[/tex]
Le suivant est [tex]U_{n+1}= 3n+1+3 = 3n+3+1 =3(n+1)+1[/tex] L'héritage est vérifié.

Mais outre que 3n+1 t'es donné dans l'énoncé c'est un peu utiliser un lance-roquettes sur le moustique qui se promène sur le mur de ta chambre... Un multiple quelconque (de 3) +1 s'écrit 3n+1...
Oui, c'est une suite arithmétique de premier terme 1 et de raison 3
Attention que [tex]U_0= 3 * 0 + 1 = 1[/tex] (et non [tex]U_1[/tex])...

@+

kadaide · 27-10-2016 10:58:49

Bonjour yoshi

Attention que U 0 =3∗0+1=1 U0=3∗0+1=1 (et non U1 )...

oui, je lai bien précisé dans ma pruve.

Mais outre que 3n+1 t'es donné dans l'énoncé c'est un peu utiliser un lance-roquettes sur le moustique qui se promène sur le mur de ta chambre... Un multiple quelconque (de 3) +1 s'écrit 3n+1...

Là je n'ai rien compris! Je ne sais pas ce que tu veux dire ?

tibo · 27-10-2016 11:09:08

Salut,

Tu as une propriété dans ton cours qui doit ressembler à ça :
Si $(U_n)$ est une suite arithmétique de premier terme $U_0$ et de raison $r$, alors pour tout entier $n$, on a $U_n=U_0+r\times n$.

En fait la réciproque est vraie aussi. Autrement si :
Si $(U_n)$ est une suite définie pour tout entier $n$ par $U_n=a+b\times n$ avec $a$ et $b$ deux réels, alors $(U_n)$ est une suite arithmétique de premier terme $U_0=a$ et de raison $b$.

Pour s'en convaincre, il suffit de remarquer qu'on a pour tout entier $n$, $U_{n+1}-U_n=b$.

yoshi · 27-10-2016 11:11:08

Salut,

[tex]U_0[/tex] je n'avais pas vu que tu l'avais signalé...
Pour le reste
1. A partir du moment ou on te donne le terme général[tex] U_n=3n+1[/tex], tu n'as plus besoin de preuve...
2. Si on ne te le donne pas, la démo par récurrence (mal faite à mon avis, c'est pourquoi je l'ai refaite sans vérifier pour n=, 1, 2, 3) est un moyen disproportionné de faire la preuve que tu souhaites...
Est-ce qu'on a besoin de démontrer par récurrence que le terme général de la suite des nombres impairs s'écrit 2n+1 ? Non...
Ici, tout multiple de 3 est de la forme 3n avec [tex]n \in \mathbb{N}[/tex] :
il en résulte donc que le nombre qui le suit immédiatement est de la forme 3n+1

@+

kadaide · 27-10-2016 11:25:28

Merci pour les réponses, j'ai compris "la roquette et le moustique!"

kadaide · 03-11-2016 19:08:58

Bonjour

Je reprends le topic

Donc Sn=(n+1)(1+3n+1)/2=(n+1)(3n+2)/2

4°) restes de 2^n modulo 7

Je trouve:1;2;4 mais j'ai oublié comment démontrer, dans le cas général, que cette suite est périodique
Je me rappelle que n fixé et k entier...

5°) on donne An=n+3 et Bn=3nAn-2Sn+1437^2016 +1

Déterminer n pour que: Bn=0 modulo 7 ET n=0 modulo 5 (congruences)

Bn=0 modulo 7 ET n=0 modulo 5 équivaut à:
5Bn=0 modulo 35 ET 7n=0 modulo 35
5Bn=0 modulo 35 ET existe k entier tel que 7n=35k
5Bn=0 modulo 35 ET n=5k

5(3nAn-2Sn+1437^2016 +1)=0 modulo 35
100k-10+5*1437^2016 +5=0 modulo 35

1437=2 modulo 35 et 2^2016=1 modulo 35

alors 100k=0 modulo 35
30k=0 modulo 35

Et là je ne vois pas ce qu'il faut conclure ?

yoshi · 03-11-2016 19:44:30

Salut,

Et si tu nous donnais l'intitulé de la la question 5 ?
Pour la 4.
La période est 3 tu l'as trouvé.
Soit n>=3 on pose [tex]2^n \equiv r \;[7][/tex]
Il existe k tel que n=k+3
D'où [tex] 2^{k+3}\equiv r \;[7][/tex]
[tex] 2^3\times 2^k\equiv r \;[7][/tex]
Or [tex]2^3\equiv 1 \;[7][/tex]....

Le soir, j'ai le cerveau lent (heureusement, il n'y pas de vent ce soir, sinon je serais obligé de m'arrimer soigneusement ^_^), alors faut pas jouer aux devinettes avec moi !...

Bah, quelqu'un aura sûrement plus de peps que moi !

@+

kadaide · 04-11-2016 18:27:29

Et si tu nous donnais l'intitulé de la la question 5 ?

Elle est formulée telle que je l'ai écrite!

yoshi · 04-11-2016 19:28:46

Salut,

Tu vois, je t'avais dit : le soir, je fatigue.
J'ai fait fais confiance à tes calculs...

Pour autant qu'ils soient bons (mais c'est chelou), j'arrive à
n=5k donc k=n/5
et
[tex]30 k =0 \quad[35] \Leftrightarrow 6k\equiv 0\quad[7][/tex]
or k=n/5
Donc [tex]6n/5\equiv 0\quad[7][/tex]
Et on a sans forcer n = 42 (et tous ses multiples),

mais il faut n multiple de 5 ça donnerait 210

Reste à reprendre l'énoncé et voir si n=210 colle.
J'vais pas faire ça à la main ; j'm'en vais programmer ça et voir...

Je reviendrai te dire oui ou non.

@+

yoshi · 04-11-2016 20:06:05

Re,

Via le langage de programmation Python ;
[tex]A_{210}=213[/tex] et [tex]3\times210\times A_{210}=145530[/tex]
[tex]S_{210}=66676[/tex] et [tex]2\times S_{210}= 133352[/tex]

Et voilà [tex]B_{210}[/tex]

270922178166235145964633517498087278995387984711062976413674527844325361343078932050942457954550298366423423460895693607910805194968262562199217338006654353145301983865214292561318467057674094246054614400448573839640622122817623236366913406197733122740889390541416927454238741843034015157804385052902803500892951535744586297359564829021959978407337809877087625484453873760591317912884523103840161833331547823548501840619709459004172289404097519585461264828825502401480219813263562146861482025209806678377168843420864306525996938825156360548528541677392909659850863946975173273351182193450584122543600708429293437470436012356005896935869956256846011938044195736040787394870546708049509672978553008616743605548122396477865040922676804658992815570083059693807979345285400310067943401744425823600178178000160120023130024068578489821578195481136119368302931970458280333465443573892716989326479685533846930442763921409011745362256534994566122135720324748004800787433706082349851252304702772255974614035535846020648374051508299414479003457523086071321913466764902301114702009547879626833562489934495069051648990695114578821232515571962065572614435133674397664603300974887789736508359316483030676445270502437700268928350624225662845550318089622814547924166977850812850158696284530300143822376820629512010868484513980327676237366898122085474676660061520835848472291455811603801268961771847233917014500022282216904552031805598211183899882759785339857920058716287785278528829425549553001542014607870394936113968409801644685281842617840733945305272959674489300492180956467072080187264822049197988706894563695509127376492848784520304269872552370826140721323063859244362845676398002836765244491379621432888705425009076998011899857715031384069871543848889032905534658675295343017707717233996678388812749924381324465301795858151592992905658755111015995986510991193057438928399155410024959612183476192852336459730836377704477877724319303174015439829613868672654758195775934516940438310169270102423103112525358135556579784581809553609552793733564539066016589810322825839456658206907632504881091342797903052054640363472263267100877321851766045859187938831036038407498289392469245984948804410483971131316381427862749664049524709213734396992505040278255854807805787329016895137357514920648883241056249877437424921518462732406841139050889867914213290186965716300590473172297893622584657433994275769087591123199692006784045692372715110768977147911459434889031150590000853216555052483331788713522334515330533512746176828735340203967950125539374334534405233696567119019229717217917948558724165841713119967697135908967981953135843127700851319503390607820304565723491156603204362603607861339536635629612722867563433222212371886202070194021138795629752187531052508244727409583347204645222352591507274371699849487898693640013309891412209565785679266024694946088595352859207839430373054971013110378159317468230865390183541673339161005661727992779262127349718854785480315099289878569680465586611298985978839427827270478668512816138282404591571041622950132154518390879762379975619293415677893419640338343407459108190942106964695844961880834340908299160538981850204354717488877856475627011304097693047471086953724363116077152119659562668710868387966038585493884582088323923974342859008029760763417330222295721539108621312910143248449257087224477350246054550034876008493388014585818490549770304659115459253721031044285891116476734048604306755474358752696575218690979206371029262244673725648148417308032787525973773140445290308033746553980607406033742835118241556910708133934000537604851444306825605717954201578508157340106955858742874350946930204255236983371380344496655455075912797365673785685240239419052563474279430739038412109357342828301681896265266412336508632353088082886123440813002220670478564910429928184059376360865352115249957775192425498486788697129904492199667932710454430521779916673992400914961660992537377142959915362929064351288984534282793450179620256858689286328068242870652457043671835549253494288733579673998231918299011314042507318061594380987664583636404070971157973646959396924329676934054442273320934120246632157187047435429282744695325729585274677533756817260589243575874236441286914681706211176753469647646354301246778306553111033247105641357956049120373433749229782593995509906656527339743552207129404876313914616589424573134162522269090263827398017193293655797071237502142973069343312614832900085793646791127480195274021187933068113390579306688184129665409472066280020475980752631879291887513794155558334832687415851997026243847111830465598697891563263767567657276460196785150070655886803086845058091039330055032444944907264438252382927877837446234415083848825538369863719047450130928028025904401608059544837638845760080193272334787693494915204691000736661058040695622581759114134862474556851081836835151906993748597165905557010320771089807199815152374644525395335117284413454297574860146410792578834112300107981272206267078245949837589860647911239175013590253403793159409351162850927694016394639489669014272577976197387129530755230889801881844877081038223649739007607535383037430502939082881440690595072778408886885463230763851848616210884144402486007020822234313269197368334566775825172821494063023803099811730774104928175488106665020525087746630714417724131223467576761657454976366018684541315581463534409552373404098548924260959755935757040753974261455212527641691317269250903213986222686043963260318273547823156911183989653909560496780640058257920612768397890570436846012398799571503651573175356458259349750944201667236528171055737053650662793873450927117864396021193322978643722009620275175688580727446464862667603672864724197964863692837498993290835347086088952661468784812358715282601842878238575010334375948209836600755087565081925906299012832970537034676509363303888359026237834683378650832737468643835355123235635003563621194833791539544128035930531032962187660149181116843864054757779508269059988231948016987689696382443195910704111800923750986225451884761184043709171874075006511225061843847240825525113771872495480304352045869156834374932396972282093620368923000348958217608015230505411992709853683080308562153443753875357445724738020551388374682305050833395640978216418728967927917542337621490216379870081298891509523542209335218395725017236430149236213779477237159069980760567009565642970811344755513147691939740417454688943834456607282071400830663598280

Et [tex]B_{210}\mod 7 = 0[/tex] me dit encore Python...

@+

yoshi · 05-11-2016 19:37:48

Re,

Désolé, mais je reprends (qu'est-ce qu'on en a fiche du 6 ?) :

[tex]6n/5\equiv 0\quad[7]\;\Leftrightarrow\;n/5\equiv 0 \quad[7][/tex]
D'où
[tex]n/5 \equiv 0 \quad[7][/tex] donc [tex] n \equiv 0 \quad[35][/tex]

Donc n=35 ou multiple de 35 devrait suffire...

Et Python me dit que B₃₅ modulo 7 n = 0

Je constate que c'est le même B qu'hier...
Je vérifie...

Après vérification [tex](1437^{2016}+1\equiv 2)\quad [7][/tex] et ça c'est une constante...

Il est donc nécessaire (et suffisant) que [tex]3nAn-2Sn \equiv 5 /quad[7][/tex]
Je continue...

@+

yoshi · 05-11-2016 20:18:17

Re,

J'ai testé via Python tous les n multiples de 5 de 5 à 210 inclus...
et calculé [tex]3nA_n-S_n modulo 7[/tex]
Les seuls n qui conviennent sont 35, 70, 105, 140, 175 et 210.

J'ai calculé [tex]c = 1437^{2016}+1[/tex]
J'ai pris [tex]S=2*Sn=(n+1)(3n+2)[/tex] et [tex]A = 3n(n+3)[/tex]
J'ai alors essayé tous les multiples de 5 entre 5 et 210 et j'ai calculé
d=A-S+c et testé d modulo 7
Les valeurs de n qui sont soties sont les mêmes 35, 70, 105, 140, 175 et 210.

1437 % 7 = 2 (% c'est le modulo en Python).
Pas besoin de division : 1437 = 1400 + 28 + 9 et 9%7=2
Et on rejoint la question précédente avec les puissances de 2

Donc [tex]1437^3 modulo 7 = 1[/tex]
Or [tex]2016=672\times 3[/tex]
D'où [tex]1437^{2016} modulo 7 = (1437^3)^{672} modulo 7 = 1^{672}=1[/tex]
Et
[tex]1437^{2016}+1\equiv 2 \quad[7][/tex] est bien juste : pas d'erreur dans Python.

Ça doit donc coller...

Conclusion vu 35 = 5*7, il doit y avoir un raisonnement plus simple pour y arriver...
Pas ce soir !

@+

[EDIT]Tout en prenant mon repas, je me suis aperçu que j'ai fait quasiment la moitié de la méthode plus simple.
il te reste à chercher quels n multiples de 5 sont tels que [tex]3n(n+3)-(n+1)(3n+2) \equiv 5 \quad[7][/tex] et trouver que ce sont des multiples de 7...
Et c'est vraiment très simple.

Dernière modification par yoshi (05-11-2016 21:26:12)

kadaide · 06-11-2016 12:30:55

Bonjour

n multiples de 5 sont tels que 3n(n+3)−(n+1)(3n+2)≡5[7]
et trouver que ce sont des multiples de 7...

Si j'ai bien compris: n=5k, k entier
3*5k(5k+1)-(5k+1)*(3*5k+2)≡5[7]
20k-2≡5[7]
20k-7≡0[7]
20k≡0[7]
6k)≡0[7]
pour k=7q, q entier alors n=5*7q
donc n=35q

Est ce que c'est bon ?

yoshi · 06-11-2016 13:17:31

Salut,

Oui,
Mais de :
20k-2 ≡ 5 [7] je passe tout de suite à [tex]20k \equiv0\quad [7][/tex]
Et comme 20 n'est pas multiple de 7, c'est que k l'est, lui...
Donc [tex]n = 5k[/tex] est multiple de 35
C'était tout simple et je n'avais pas besoin de la puissance de calcul (sur les entiers) de Python.
[tex]6k≡0[7][/tex] pour quoi faire ? Pour moi, aucun intérêt...

Ce 6 n'apparaît que dans ta première méthode.

D'accord ?

@+

kadaide · 06-11-2016 18:15:05

J'ai envie de revenir un peu sur cette 5ième question.

Au fait, dans mon premier message j'arrive à :
n=5k ET 30k=0 modulo 35
Mais on veut vérifier si Bn est divisible par 7 pour n=5k et non Bn est divisible par 35 et c'était là mon erreur!

A partir du résultat: 30k=0 modulo 7
équivaut à 2k=0 modulo 7
2 non divisible par 7 alors k=7q et n=5*7q=35q.

Que penses tu de cela ?

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Pour la question 4) j'ai retrouvé la méthode dans un livre de terminale:
On sait 2^3=1 modulo 7
soit k entier: 2^(3k)=1^k modulo 7
(2^3)^k)=1^k modulo 7
(2^3)^k)=1 modulo 7
(2^(3k+1)=2 modulo 7
(2^(3k+2)=4 modulo 7

(2^(3k+3)=1 modulo 7

donc la période des restes est:{1;2;4}

yoshi · 06-11-2016 19:10:14

Re,

Pour la question 4) j'ai retrouvé la méthode dans un livre de terminale:
On sait 2^3=1 modulo 7
soit k entier: 2^(3k)=1^k modulo 7
(2^3)^k)=1^k modulo 7
(2^3)^k)=1 modulo 7
(2^(3k+1)=2 modulo 7

Je préférerais :
[tex]2^3 \equiv 1\quad[7][/tex]
Ensuite
[tex]2^{3k}= (2^3)^k\equiv 1^k= 1\quad [7][/tex]
[tex]2^{3k+1}= 2\times (2^3)^k\equiv 2\times 1^k= 2\quad [7][/tex]
[tex]2^{3k+2}= 2^2\times (2^3)^k\equiv 4 \times 1^k= 4\quad [7][/tex]
[tex]2^{3k+3}= 2^{3(k+1)}=(2^3)^{k+1}\equiv 1^{k+1}= 1\quad [7][/tex]

Or, [tex]\forall n \in \mathbb{N}\;\exists k \in \mathbb{N}\; n= 3k \text{ ou }n =3k+1\text{ ou }n =3k+2[/tex]...

Donc l'ensemble (et non la période) des restes est : {1;2;4}. et la période est 3

Q5

partir du résultat: 30k=0 modulo 7
équivaut à 2k=0 modulo 7
2 non divisible par 7 alors k=7q et n=5*7q=35q.

Plus court :
[tex]30k \equiv 0\quad [7][/tex] se traduit par 30k est un multiple de 7 et puisque 30 ne l'est pas alors , k est un multiple de 7.
k étant multiple de 5 et de 7, il est donc multiple de 35...

@+

yoshi · 08-11-2016 13:16:15

Bonjour,

Finalement, à la réflexion, je n'aime pas trop.
En fait, ça a tout du "tour"...
Pourquoi pas comme ça :
si p est la période cherchée, alors
[tex]\forall n \in\mathbb{N},\; 2^{n+p}\equiv 2^n\quad[7][/tex] application de la définition d'une fonction périodique
[tex]\Leftrightarrow[/tex]
[tex]\forall n \in\mathbb{N},\; 2^p\times 2^n \equiv 2^n\quad[7][/tex]
[tex]\Leftrightarrow[/tex]
[tex] 2^p \equiv 1\quad[7][/tex]
D'où [tex] 2^p = 8[/tex]
D'où p =3

@+

kadaide · 08-11-2016 18:27:13

Bonjour Yoshi

Il ne faut pas oublier que c'est niveau terminale S.

Comment tu justifies au niveau terminale l'équivalence:

∀n∈N,2^p ×2^n ≡2^n [7] ⇔2 p ≡1[7] sachant qu'on ne peut pas diviser dans une congruence.

yoshi · 08-11-2016 19:53:10

Salut,

On ne peut pas diviser dans une congruence

Quel rapport avec la TS ? On ne pose pas ce genre de questions avant...

1. Je n'ai pas divisé j'ai procédé par identification...
2. Je vais réfléchir davantage.
Voyons...
Je pose [tex]2^n\equiv r \quad [7][/tex] (1)
On a [tex]2^{n+p}= 2^p\times 2^n[/tex].

Je multiplie dans (1) [tex]2^n[/tex] par [tex]2^p[/tex] donc - en principe -, le reste est aussi multiplié par [tex]2^p[/tex] :
[tex]2^p\times 2^n\equiv (2^p\times r) \quad [7][/tex]
Or [tex]2^p\times 2^n = 2^{n+p}[/tex] et [tex]2^{n+p}\equiv r \quad[7][/tex] puisque p est la période
Je peux donc écrire que [tex]2^p \times r \equiv r \quad[7][/tex]
Or [tex]r < 7[/tex].
Donc, pour avoir [tex]2^p \times r \equiv r \quad[7][/tex], il n'y a que 2 possibilités.
Soit [tex]2^p \equiv 1\quad [7][/tex]
Soit [tex]2^p \equiv r\quad [7][/tex]
Ce 2e cas est plus épineux...
[tex]r \in\{1,2, 3,4,5,6\}[/tex]
Si r=1, alors [tex]2^p\equiv 1\quad[7][/tex] c'est possible : il suffit de prendre p =3k (multiple de 3. Le plus simple est p=3)
..................................
Je vais voir qq ch.

Après vérification de la définition, mon interprétation (en parlant de multiples) n'était peut-être pas correcte dans mes conclusions
Si [tex]a \equiv b \quad m[/tex] alors [tex]\exists k \in \mathbb{N},\; a-b=km[/tex]
Ce qui veut dire qu'il faut que je revoie ma démo du 5 pour vérifier si ça cloche ou pas...

Tiens au fait quand tu dis : on ne peut pas diviser dans les congruences, il te faut relativiser ton propos :
dans le cours consulté le net, il n'est pas écrit que "on peut pas" mais que c'est plus difficile (que +, -, x) :
http://math.unice.fr/~walter/L1_Arith/cours3.pdf
ou que la congruence n'est pas compatible avec la division :
http://www.educastream.com/congruences-terminale-s
Mais là, leur justification m'interpelle au niveau du distinguo entre relatifs et entiers, c'est assez mal dit, prce que jusqu'à preuve du contraire :
Tout entier naturel est un relatif. [tex]\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}\subset \mathbb{D}\subset \mathbb{Q} \subset ...[/tex]

Faut que je reprenne, mais je ne capitule pas...
Voilà ce que c'est que d'être perfectionniste : bah, onn e se refait pas ...

@

kadaide · 09-11-2016 11:58:04

Bonjour yoshi

J'ai juste le niveau TS et c'est vrai je me suis dit: yoshi a divisé, peut être que ça existe que dans l'enseignement supérieur et c'est pour ça qu'en TS on nous l'interdit! Et puis ce n'est pas moi qui va te contredire dans ceci ou cela!

d'apès unice.fr:

(f) Si d est un diviseur commun de a, b et n, alors a = b (mod n) implique a/d=b/d mod n/d
(g) Si d divise n, alors a = b (mod n) implique a = b (mod d).
Donc les règles de manipulation des congruences contiennent la plupart des règles de manipulations
d’égalités entre entiers pour l’addition, la soustraction, et la multiplication. Mais
pour la division (et la simplification des congruences), c’est plus compliqué.

je ne savais pas tout ça!

yoshi · 09-11-2016 12:41:47

Salut,

Là, ainsi que je l'ai indiqué, si la justification me dérange, le contre-exemple donné est imparable :
http://www.educastream.com/congruences-terminale-s
Si
[tex]63\equiv 45 \equiv 0\quad [9][/tex]
diviser par 9, conduirait à la sottise suivante :
[tex]\frac{63}{9}\equiv \frac{45}{9} \equiv 0\quad [9][/tex]
Soit
[tex]7 \equiv 5 \equiv 0\quad [9][/tex] !!!!

Maintenant, je reprends là où j'avais arrêté hier soir à savoir :
[tex]2^p\times r \equiv r \quad [7][/tex]
Et j'enchaîne:
[tex]\Leftrightarrow[/tex]
[tex]r(2^p\times -1) \equiv 0\quad [7][/tex]
Là, pas d'erreur cela signifie bien que le produit est multiple de 7.
Il ne serait pas suffisant de dire [tex]r \not \equiv 0 \quad [7][/tex] pour pouvoir conclure que[tex] 2^p\times -1 \equiv 0\quad [7][/tex]
Contre-exemple:
[tex]4 \times 9 \equiv 0 \quad [12][/tex]
Or [tex]9 \not \equiv 0 \quad [7][/tex] mais 4 non plus et pourtant [tex]4 \times 9\equiv 0 \quad [12][/tex]..
Parce que les facteurs manquants dans l'un se trouvent dans l'autre : et ceci ne peut se produire avec 7 à la place de 12...
Il faut ajouter en effet que 7 est premier !
Donc, ici, j'ai bien :
[tex]2^p-1 \equiv 0\quad [7][/tex]
[tex]\Leftrightarrow[/tex]
[tex]2^p \equiv 1\quad [7][/tex]
Et le plus petit p est donc tel que [tex]2^p=8[/tex], soit p = 3

Je n'ai pas encore vérifié ce que j'ai en Q5...

@+

freddy · 12-11-2016 18:18:28

Salut,

comme je le subodorais, les questions sont liées.

La première permet de montrer que $S_n = \frac{(n+1)(3n+2)}{2}$ qui est un entier car soit $n$ est pair, et le second terme l'est aussi, soit $n$ est impair, et le premier terme est pair.

Ensuite, la démonstration de yoshi est incontestable. Le reste de la division de $2^n$ par 7 est 1, 2 ou 4 si, respectivement, $n=3k$ ou $n=3k+1$ ou $n=3k+2$ et $k \in \mathbb{N}$.

Pour la dernière question, tout se ramène à l'étude du reste de la division de $B_n = 7n-1+1437^{2016}$ par 7, sachant que $n$ est un multiple de $5$.

Première chose à faire : on a $1347\equiv 2 \bmod 7$. Donc en reprenant le début, puisque $2016=3\times 672$, alors $1347^{2016}\equiv 1 \bmod 7$

Conclusion : $B_n=7\times n \equiv 0 \bmod 7$.

Solution : prendre tous les multiples de 5 puisqu'on veut que $n$ soit aussi divisible par 5.

Dernière modification par freddy (12-11-2016 18:19:08)

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