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sbl_bak

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Produit infini

Bonjour,

Je souhaiterai exprimer le produit infini suivant par une série en utilisant la dérivée  logarithmique.

Soit $\displaystyle p(z) = z\Pi (1-\frac{z^2}{n^2})$

Je souhaiterai donc appliquer $\displaystyle \frac{p'}{p} = \sum_{n\in N} \frac{f'_n}{f_n}$ , (1)

Je n'arrive pas à mettre en oeuvre la relation (1)

Merci d'avance de votre aide.

Yassine

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Re : Produit infini

Bonjour,
Si tu notes $\mathcal L$ l'opérateur de dérivée logarithmique, tu as $\displaystyle \mathcal L(p) = \mathcal L(z) + \mathcal L\left(\Pi (1-\frac{z^2}{n^2})\right)$
Soit encore  $\displaystyle \mathcal L(p) = \mathcal L(z) + \sum \mathcal L\left(1-\frac{z^2}{n^2}\right)$
Quelle est l'expression que tu ne sais pas calculer ?

sbl_bak

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Re : Produit infini

Bonjour Yassine,

Je dois arriver au résultat : $ \displaystyle \frac{p'}{p} = \frac{1}{z} + \sum_{n\geq 1} \frac{2z}{z^2-n^2}$

Je ne vois pas comment on arrive au premier terme du membre de droite de l'égalité.

....Ah je viens de comprendre !!! il faut utiliser la dérivée logarithmique de la facon suivante :

$\displaystyle \mathcal L(ab) = \frac{(ab)'}{ab} = \frac{(a)'}{a} +   \frac{(b)'}{b}$

et le resultat est immédiat.

Merci encore Yassine.

Yassine

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Re : Produit infini

De rien !