demo de l'espérance et de la variance de la loi log-normale [Résolu]

gouloula · 07-05-2007 14:08:08

bonjour, je n'arrive pas à demontrer les 2 formules; pouvez vous m'aider?

il suffit de calculer l'integrale entre 0 et + l'infini de x*(1/sigma*racine(2pi))*exp(-((ln(x)-µ)/2sigma²) pour l'esperance

pour la variance il faut faire Var(x)= E(X²)-(E(X))²

et E(X²)= l'integrale entre 0 et + l'infini de x²*(1/sigma*racine(2pi))*exp(-((ln(x)-µ)/2sigma²)

dans le cas de la loi normale on fait un changement de variable on pose u= (x-µ)/sigma mais la je n'arrive pas à le faire. merci par avance.

gouloula · 07-05-2007 14:32:54

j'ai oublié de dire que j'ai commencé les calculs mais qu'ils ne s'arretent jamais ... donc j'ai surement fait des erreurs . ou alors il ne fallait peut etre pas prendre u= (lnx-µ)/sigma ...

john · 07-05-2007 16:02:49

Bienvenue gouloula,
Sais-tu que si tu donnais les formules à démontrer... ce serait beaucoup plus facile pour nous de t'aider.
Enfin, je suppose que tu veux vérifier que µ et s² sont bien resp. l'espérance et la variance de la loi normale...
Dans ce cas, il faut poser u = (x - µ)/s et non pas ln(x) - µ...
E[X] s'intègre à vue et Var[X] s'intègre par parties.
Bon courage
A+

gouloula · 10-05-2007 17:40:59

merci pour l'accueil John... apparemment mon écriture n'était pas lisible ...

voila le lien peut etre vous me comprendrez mieux?!? je cherche a demontrer la formule de l'esperance et de la variance de la loi LOGNORMALE.

http://www.bibmath.net/dico/index.php3? … rmale.html merci d'avance A+.

john · 10-05-2007 22:07:24

Hello,
... si, ton écriture était lisible. Encore fallait-il lire le titre de ton message, désolé.
Pour intégrer ça, je crois qu'on utilise une formule bien connue (?) et facile à retenir... que je te rappelle :
Somme de -oo à +oo de exp[-(ax²+bx+c)].dx = V(Pi/a).exp[(b²-4ac)/4a]
Exemple
Z suit une loi log-normale telle que Y=ln(Z) suive la loi normale centrée réduite N(0, 1)
On a Z = exp(Y)
E[Z] = Som de 0 à +oo de z.dP(z) = Som de -oo à +oo de exp(y).dP(y) = [1/V(2Pi)].Som de -oo à +oo de exp(y).exp(-y²/2).dy
= [1/V(2Pi)].Som de -oo à +oo de exp(-(y²/2 - y)).dy = exp(1/2)
Sauf erreurs de calcul évidemment.
A+

gouloula · 11-05-2007 07:40:07

Salut,
merci pour ta réponse si rapide ... pour moi E(z)= somme quand il s'agit de variable aleatoire discrete; la loi lognormale est une variable continue, non? si oui alors c integrale de -oo à +oo de x."fonction de repartition de Z" (la fonction de repartition est dans le lien au dessus) et c'est là que je bloque dans le calcul; je pense que j'ai un probleme avec les changements de variables en fait ...

dans ta formule, que represente V ?

je te remercie d'avance, A +.

gouloula · 11-05-2007 08:58:09

heu je voulais dire la fonction densité ... dsl

john · 11-05-2007 10:36:03

Bonjour,
Oui, pour moi aussi som = intégrale (avec un signe somme en forme de grand S et des bornes d'intégration... mdr!).
V(a) = racine de a et Pi = 3,14...
Si tu as compris le petit exemple que je t'ai donné en #5 avec N(0, 1) et si tu es capable de le refaire, alors ton intégration avec N(m, s) ne devrait pas te poser de problème.
Si tu n'as pas compris, inutile de te lancer dans ce que tu essaies de faire. Du simple... au compliqué.
Autre rappel
--------------
Si X a pour densité D(x) on a dP(x) = D(x).dx et E[X] = Som de -oo à +oo de x.dP(x) = Som de -oo à +oo de x.D(x).dx
C'est bien la densité qui intervient dans le calcul des moments. Il te reste à appliquer...
A+ si le pb. persiste.

Dernière modification par john (14-05-2007 13:21:35)

gouloula · 11-05-2007 13:30:28

ah ok je ne savais pas qu'il avait un nom ... mdr

tu as raison le pb vient d'avant ...

comment fais tu pour passer de :

= Som de -oo à +oo de exp(y).dP(y) = [1/V(2Pi)].Som de -oo à +oo de exp(y).exp(-y²/2).dy

je ne comprends pas le lien avec la formule ?? merci.
A+.

john · 11-05-2007 14:23:54

Re,

Je me doutais que tu n'avais pas capté car tu me parlais de changement de variable... or ici, il n'y a pas de changement de variable (au sens de "technique mathématique pour intégrer plus facilement").

Petit exo pour bien comprendre car c'est FONDAMENTAL
-----------------------------------------------------------------
On joue avec un dé à 6 faces et on s'intéresse à la variable aléatoire Z = Ln(résultat d'un jet). Calculer E[Z].
Manque de temps => Explications ce soir ou demain matin si nécessaire.
A+

En regardant de plus près, ce que tu n'as pas vu, c'est peut-être simplement :
exp(y).exp(-y²/2) = exp(-y²/2 + y) d'où le lien avec la formule...
A+

20h30 : Toujours bloqué ?
A+

Dernière modification par john (11-05-2007 19:25:54)

john · 12-05-2007 14:41:27

Le lendemain 15h30,
tjs bloqué ou pas de mathématiques le samedi ?
-----------
Finalement, j'ai bien fait de poser ce petit Pb. sinon, je n'aurais rien à dire...

On joue avec un dé à 6 faces et on s'intéresse à la variable aléatoire Z = Ln(résultat d'un jet). Calculer E[Z].

R = résultat d'un jet
E[R] = 3,5 (bien que 3,5 ne se produise jamais !!!).
Ln(E[R]) = 1,253
E[Z] = Ln(1)/6 + Ln(2)/6 + ... Ln(6)/6 = Ln(1*2*3*4*5*6)/6 = 1,097
A+ pour la démo. des formules de la loi log-normale.

john · 13-05-2007 13:04:31

Hello tous et toutes,

Et Illiana Kidiz :
"Vous jouez au chat et à la souris avec vos membres... " alors qu'on est là pour les aider, à attendre leur réponse tandis que yoshi passe son temps à virer les emmerdeurs... (Pardon ? Si si, je reste poli). MERCI à ces derniers de lui laisser le temps de répondre à mes messages.

Comme les "non-modo." s'ennuient un peu, voici une autre application (niveau pré-bac) de LA formule magique (pour ceux qui suivent le fil) :

Z = v.a. de loi log-normale telle que Y = ln(Z) suive une loi normale centrée réduite. Calculer Var[Z].
Après, on généralise au moment d'ordre n.

A+

yoshi · 13-05-2007 14:56:09

Bonjour,

Passage rapide...
Juste pour dire à John qu'il faut inclure Galdinx parmi les "chiens de garde" ! Ce jeune-homme, voyez-vous, a mis au point un système pour contrer ceux qui postent des horreurs (et notamment, c'est nouveau, ça vient de sortir -depuis une dizaine de jours- des images "instructives" en clair dans les messages)...
On affine, affine... Ca prend forme : je pense qu'on devrait pouvoir ré-autoriser les invités à poster d'ici peu...

En outre, cher John, si j'ai besoin de réfléchir, je reporte à plus tard la joie de répondre (dommage, parce que je rejoins gouloula dans la non-compréhension de certains trucs -et pas le produit de 2 exponentielles : c'est quand même un peu trop basique)...

Pour terminer, pour que ces chères têtes blondes consentent à bosser à 75% du taf habituel, je suis obligé de faire 200% de mon taf habituel à moi... Et quand par dessus le marché, le ministère a pondu "une usine à gaz" (qui arrive maintenant) destinées à permettre auxdites chères têtes blondes de passer leur ASSR 1er et 2e niveau (5e et 3e) via les ordis en notre possession à raison de 14 élèves (pas plus) à la fois, et vu le niveau informatique de 75% (chuis gentil !) de mes petits camarades, qui c'est qui s'en prend plein la poire entre la mise en place, le briefing des petits et des grands, puis la récupération des données heure par heure ?

Et quand donc, cerise sur le gâteau, il faut éviter que Bibmath se transforme en musée des horreurs, les journées sont bien courtes, trop courtes pour avoir le temps de penser à ces dégénérés qui n'ont rien d'autre à faire que de compter les poignées de main qu'ils échangent pendant une réception au lieu de s'empiffrer comme les autres... ;-)

Allez, @+, je retourne à mes copies...

john · 14-05-2007 14:01:48

Hello,
Alors là yoshi, je suis carrément impressionné, moi qui n'ai jamais réussi à faire qu'une seule chose à la fois (et encore, pas toujours bien)...

Pour revenir à nos moutons, le problème que me posent gouloula et toi c'est que je ne vois pas très bien où ça bloque : "...non-compréhension de certains trucs" ???? Je ne doute pas qu'il y ait qqchose de troublant mais si vous pouviez préciser...

Est-ce le passage de Z à Y dans le message #5 :
E[Z] = Som de 0 à +oo de z.dP(z) = Som de -oo à +oo de exp(y).dP(y) ?

A+

yoshi · 14-05-2007 18:52:32

B'soir Johnn

Je vais prendre 1/4 h pour te répondre, je te dois bien ça, vu la peine que tu te donnes...
D'abord un conseil : que ferais-tu à ma place, en répondant à un charmant jeune homme qui doit bien être en 1ere S et qui ne voit absolument pas à quoi peut bien être égal : [tex]\frac{({\pi \over 3})}{3}[/tex] ?
Bon tu as écrit :
[tex]E[Z] = \int_0 ^{+\infty}z.dP(z)=\int_ {-\infty}^{+\infty}e^y.dP(y)=\frac{1}{sqrt{2\pi}}.\int_{-\infty}^{+\infty}\;e^y.e^{\frac{{-}y^2}{2}}dy[/tex]
c'est bien ça ?
(c'est pas plus zouli comme ça ?)

Désolé, mais comme mon âge commence à avoir des similitudes avec la forme bien connue des matheux (canonique), je commence à avoir le cerveau lent (par jour de grand vent, je leste avec deux masses de 20 kg de chaque côté), mes neurones patinent...
1. Pourquoi dP(z) comme "véhicule d'intégration" comme on disait dans le temps. Et tu alternes les Z et les z et ça me chiffonne...
2. Gouloula est dans le coup, le 1. il doit avoir compris... Je présume qu'il bute sur les points à venir. D'où viennent
--> ce 2pi ?
--> ce [tex]sqrt{2\pi}[/tex]
--> ce [tex]e^{\frac{{-}y^2}{2}}[/tex]
Désolé si tu l'as écrit quelque part, si c'est du cours (et lequel ?) mais je n'ai pas le temps de chercher, je suis "au four et au moulin", mais ça va se décanter dans une dizaine de jours...

J'ai oublié dans mes attributions, la gestion d'une autre usine à gaz : le logiciel de gestion des notes, bulletins et conseils de classes... Alors comme tu vois quand arrive 21 h, je ne suis plus bon qu'à jeter aux chiens ... Et encore, sont tellement bien nourries ces tites bêtes qu'elles z'en voudraient même pas ;-)

@+

john · 15-05-2007 14:33:27

Hello yoshi,

Je suis maintenant sidéré par la patience que tu as dû acquérir au cours de tes années d'enseignement. J'ai de gros progrès à faire de ce côté pour me recycler dans le lycée de Bob par exemple. Je pense que je ne tiendrais pas une journée.

Pour le conseil, puisque tu me le demandes si humblement, j'ai déjà donné la solution en degrés dans le fil en question : 20° c'est plus simple que (Pi/3)/3. Je pense par ailleurs que ce charmant jeune homme devait être un petit génie en CP et qu'il est entré directement en 1èreS.

Pour le reste, il te faut un petit cours de rafraîchissement, car si tu n'as pas reconnu la densité de la loi normale centrée réduite, c'est probablement que tu ne l'utilises pas souvent. Pourtant elle est partout autour de nous tous les jours, et, comme disait un ancien collègue de travail, "Pourquoi s'inquiéter, tout est normal dans ce monde, même les faits à 25 sigmas de la moyenne.".

1) Ne pas confondre Z (variable aléatoire) et z (valeur réelle) que peut prendre Z au cours d'une expérience aléatoire.

2) Loi normale centrée réduite : http://www.bibmath.net/dico/index.php3? … rmale.html

3) J'ai utilisé les notations dP(z) et dP(y) pour que gouloula ne soit pas tenté de faire un changement de variable classique (c-à-d où il faut aussi changer l'élément différentiel dz en dy avant d'intégrer). On a simplement :
dP(z) = Pr(z <= Z < z+dz)
et si Z = exp(Y) avec une autre loi (plus simple en l'occurence) pour Y, on écrit aussi dP(y) = Pr(y <= Y < y+dy)
Le lien entre Z et Y n'a rien d'aléatoire, c'est un lien fonctionnel. Dès que la valeur y de Y est connue, la valeur z de Z est connue et réciproquement.

Voilà, c'était surtout pour les autres, car je crois que tu n'as pas trop le temps de t'immerger là-dedans (même si, en ce moment, il y a de grosses vagues tout à fait NORMALES).
A+

Dernière modification par john (15-05-2007 15:13:34)

yoshi · 15-05-2007 17:24:59

Dear John,

Oui de la patience, il en faut, car ces chers petits sont à l'heure du zapping : où ils comprennent (pour 75 % d'entre eux) tout de suite, ou bien c'est "j'y comprend rien"....
J'ai beau répéter qu'il n'y a rien de scandaleux ni d'anormal à devoir réfléchir plus de 30 s d'affilée, ça ne nous empêche pas de passer pour des martiens :
[mode vieux croûton on] les élèves ne sont plus ce qu'ils étaient ! [Mode vieux croûton off]
Sic transit gloria mundi !

Bon, en ce qui me concerne, pour pouvoir reconnaître la formule, encore fallait-il déjà la connaître...
Je viens de ressortir un livre de TS récent : de "densité de la loi normale centrée réduite", point ! Nada !
J'ai suivi le lien et j'ai vu, mais ne suis pas plus avancé...
Le 2pi qui apparaît comme un cheveu sur la soupe doit-il être accepté sans chercher à comprendre ou bien y a-t-il y a de "savants calculs" qui le font apparaître ?

John a écrit :

[...]même les faits à 25 sigmas de la moyenne.".

Désolé, ça a sûrement un sens pour toi, mais aucun pour moi ! "Jargon" de statisticien ou d'économiste de "haute volée" ?
Il manquera donc encore toujours quelques cordes à mon (petit) arc !!!

Merci

@+

john · 15-05-2007 22:37:49

Bonsoir yoshi,

Vu que tu avais réécrit les formules en latex sans la moindre erreur, je pensais que tu jonglais avec tout ça.

Pour répondre à tes interrogations, ce facteur 1/V(2Pi) qui semble t'intriguer est un simple facteur multiplicatif qui ramène l'intégrale entre -oo et +oo de la densité à la valeur 1 (il vaut mieux pour une loi de proba.).

Pour une loi normale, le sigma (écart-type) caractérise la largeur de la courbe en cloche. Plus le sigma est petit, plus la cloche est étroite et haute. Le jargon "à 25 sigmas" signifie que le fait observé est très éloigné de ce qui est communément attendu, c'est-à-dire le plus probable. Ce qui, paradoxalement, fait dire au commun des mortels que le fait observé n'est pas normal. Il est en réalité seulement très peu probable.

A+

PS j'aime ce qualificatif "à l'heure du zapping"... c'est de toi ?
Le drame, c'est que ça se propage dans l'entreprise (comme résultat de pressions sur les coûts et délais) et là, je crois que ce n'est pas normal.
A+

Dernière modification par john (16-05-2007 09:50:43)

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