Exercice vecteurs et droites

maths26 · 16-10-2016 14:26:30

bonjour, je suis en 1ère S et j'ai un DM a rendre pour mardi, je n'ai pas eu le temps de m'y plonger avant et je n'y arrive pas. Alors voilà, ci joint la consigne de l'exercice, merci de m'aider a le résoudre.

(il y a normalement des flèches au dessus des vecteurs)
ABC est un triangle. Les points K,L et M sont tels :
que le vecteur AK = -3/2 AC
le vecteur AL = 3/4 AB
le vecteur BM = 1/6 BC

Solutions analytique dans le repère (A;AB;AC)
1)a- Déterminer les coordonnées de K,L et M
b- Démontrer quz K,L et M sont alignés

Solution vectorielle (sans repère)
2)a- Décomposer KL sur les vecteurs AB et AC
b- Décomposer KM sur les vecteurs AC, AB et BC
En déduire une décomposition de KM sur les vecteurs AB et AC seulement
c- Montrer que K,L et M sont alignés.

Répondez moi au plus vite et merci.

Dernière modification par maths26 (16-10-2016 14:35:23)

tibo · 16-10-2016 14:43:42

Bonjour,

je n'ai pas eu le temps de m'y plonger avant et je n'y arrive pas. Alors voilà, ci joint la consigne de l'exercice, merci de m'aider a le résoudre.

Par "aider", tu entends qu'on le fasse à ta place? ou tu y a quand même un peu réfléchi?
Montre nous ce que tu as fait et nous serons ravi de t'aider.

Un petit coup de pouce quand même :
Pour montrer que des points sont alignés, on peut utiliser la colinéarité de vecteurs.

[edit]
Je me pose quand même une question.
Que signifie exactement "solution analytique"? Cela à l'air d'être opposé à la solution vectorielle.
Mais peut-on quand même utiliser les vecteurs lors de la solution analytique?

As-tu vu la notion de vecteur directeur d'une droite?

Dernière modification par tibo (16-10-2016 14:48:23)

maths26 · 16-10-2016 15:02:44

non pas le faire à ma place mais m'aider,
c'était un exercice de contrôle qui nous a été donné en DM, j'avais commencé pour la 1 et j'ai fait un système avec :
AK = -3/2 AC
xk-xa= -3/2 (xc-xa)
yk-ya= -3/2 (yc-ya)

xk-0= -3/2 (0-0)
yk -1= -3/2 (0-1)

K(-3/2 ; -5/2)
et j'avais fait pareil avec : AL = 3/4 AB et BM = 1/6 BC
mais je ne sais pas du tout ce qu'il faut faire étant donné qu'aucune coordonnée n'est donnée et que c'est moi qui les ai trouvées a l'aide d'un schéma cependant si on place les point du triangle ABC de différentes manières, les coordonnée ne sont plus les mêmes, et donc les calculs non plus, comment je peux faire ?

tibo · 16-10-2016 15:30:53

La méthode est bonne mais il y a un problème avec tes coordonnées.

Reprenons au début la notion de repère.
Un repère sert à se ... repérer ! Ici on reste dans le plan. Et pour repérer un point dans un plan muni d'un repère, il faut deux coordonnées.
Et forcément si on change de repère, ça change les coordonnées.
Au collège, on apprend qu'il faut trois points pour définir un repère. En seconde, et surtout en première, on voit que un point et 2 vecteurs, ça fonctionne aussi.

Dans ton exercice, on te dit quel repère utiliser : le repère $(A, \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})$.
Cela signifie que le point $A$ est l'origine du repère, la droite $(AB)$ est l'axe des abscisses avec la longueur $AB$ pour unité et la droite $(AC)$ est l'axe des ordonnées avec la longueur $AC$ pour unité.

Dans ce repère, peux-tu me donner les coordonnées des points $A$, $B$ et $C$?

[edit]
Au passage, il y a des erreurs de calculs :
$\displaystyle x_K-0=-\frac{3}{2} (0-0)$ ne donne pas $\displaystyle x_K=-\frac{3}{2}$
et $\displaystyle y_K -1= -\frac{3}{2} (0-1)$ ne donne pas $\displaystyle y_K=-\frac{5}{2}$

Dernière modification par tibo (16-10-2016 15:38:01)

maths26 · 16-10-2016 15:38:58

donc A(0;0) B(0;1) et C(1;0) ? et pour l'exercice 1 il faut faire ce système la pour chaque égalité donnée ?

tibo · 16-10-2016 15:41:35

Ok pour $A(0;0)$.
Pas d'accord pour $B$ et $C$.

Si j'ai un point $M(x;y;)$, $x$ est l'abscisses et $y$ l'ordonnée.

maths26 · 16-10-2016 15:45:07

mais alors pourquoi les coordonnées de B et C ne sont pas les bonnes ?
et comment fait- on pour calculer un système alors ?

maths26 · 16-10-2016 15:50:09

ha je crois avoir fait mon schéma dans le mauvais sens, du coup cela fait:
B(1;0) et C(0;1)

tibo · 16-10-2016 15:50:46

$B$ est sur l'axe des abscisses, donc forcément son ordonnée est nulle.
Donc on a $B(1;0)$.
De même, $C$ est sur l'axe des ordonnées donc...

Ensuite pour le système, ce que tu as fais est bon. (Sauf les erreurs de calculs bien sûr.)
$\displaystyle \overrightarrow{AK}=-\frac{3}{2} \overrightarrow{AC}$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}\displaystyle x_K-x_A=-\frac{3}{2}(x_C-x_A) \\ \displaystyle y_K-y_A=-\frac{3}{2}(y_C-y_A) \end{matrix} \right.$

De même avec les autres égalités vectorielles.

Dernière modification par tibo (16-10-2016 15:52:05)

maths26 · 16-10-2016 15:53:59

pouvez vous me ré-expliquer comment on calcule un système svp ?
Du coup le point C (0;1) ?

tibo · 16-10-2016 15:59:11

En fait peu importe le sens dans lequel tu fais ton schéma.
On a pour habitude de tracer l'axe des abscisses horizontalement et l'axe des ordonnées verticalement, mais dans la pratique rien de l'oblige.
Tout dépend du repère que tu choisis au début.

Pour résoudre cet exercice, on aurait très bien pu choisir le repère $(B,C,A)$. Les coordonnées des points auraient été complètement différents, mais on serait arrivé au même résultat final.

tibo · 16-10-2016 16:02:52

Oui $C(0;1)$

Pour le système, ici ça n'en est pas vraiment un.
Les deux lignes sont complètement indépendantes.
Les inconnues sont $x_K$ et $y_K$. Remplace tout le reste par leur valeur et résout les équations (elles sont vraiment simples).

maths26 · 16-10-2016 16:06:14

est-il possible que vous me ré-expliquiez comment calculer un système svp et enfin, me dire si les décompositions de vecteurs sont bonnes ? (ce que je ne pense pas)

pour la 2)a-
AB+AC=KL
=AK+KB+AL+LC
=KA+AL+KB+LC
=KL+KB+BK+LC+CL
=KL

pour la 2)b-
AC+AB+BC=KM
=AK+KC+AC
=AK+KC+AM+MC
=KA+AM+KC+CM
=2KM
=2KM-KM
=KM

KM=AB+AC

pour la 2)c-
K,L et M sont alignés car ils sont colinéaires et que KM=AB+AC

tibo · 16-10-2016 16:12:54

Pour tes décompositions de vecteurs ça commence mal.

Pour écris-tu $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{KL}$?
et $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{KM}$?

maths26 · 16-10-2016 16:15:23

car la consigne est décomposer le vecteur KL sur les vecteurs AB et AC
et décomposer KM sur les vecteurs AC, AB et BC

maths26 · 16-10-2016 16:17:19

désoler d'embêter encore le monde mais pour le système je trouve que le point K a comme coordonnées (0 ; -3/2) or vous m'avez que j'avais des erreurs de calculs, je ne comprends pas mon erreur

Dernière modification par maths26 (16-10-2016 16:18:05)

tibo · 16-10-2016 16:23:22

C'est bon pour le point $K$ !
Fais les suivant maintenant.

Décomposer $\overrightarrow{KL}$ sur $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ ne signifie pas que $\overrightarrow{KL}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$ !!!
Tu dois partir de $\overrightarrow{KL}=...$ et le décomposer pour faire apparaître $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$.

maths26 · 16-10-2016 16:36:48

d'accord donc le point L(3/4 ; 0) et M(0; 1/6)
je crois avoir réussi pour la décomposition ! dites moi :
KL=KA=AL
= KB+BA+AC+CL
= KC+LB+AB+AC+CK+BL
= KC+CK+LB+BL+AB+AC
KL=AB+AC
c'est ça ??

tibo · 16-10-2016 17:03:25

Ok pour le point $L$
Pas d'accord pour le point $M$.

KL=KA+AL --> OK
= KB+BA+AC+CL --> pas très utile mais ok
= KC+LB+AB+AC+CK+BL --> là ça ne va plus du tout. Je ne comprend même pas ce que tu fais.

Repart de KL=KA+AL
puis utilise les relations de l'énoncé.

maths26 · 16-10-2016 17:33:33

BM = 1/6 BC
xm-xb=1/6(xc-xb)
ym-yb= 1/6 (yc-yb)

xm-1 = 1/6 (0-1)
ym - 0 =1/6 (1-0)
M(0;1/6) quelle est mon erreur ?

maths26 · 16-10-2016 17:38:13

et pour les décompositions de vecteurs :
KL = KA + AL
= -3/2 AC + 3/4 AB ?

et KM = KA + AM
= AK+AL+LM
= AK+AL+LB+BM
= -3/2 AC + 3/4 AB + 1/6 BC +LB
mais je n'arrive pas a faire partir LB

maths26 · 16-10-2016 18:02:12

j'attends vos réponses svp

tibo · 16-10-2016 20:16:01

$\displaystyle x_M-1 = \frac{1}{6} (0-1)$ est bon.
Mais on n'obtient pas $x_M=0$

Attention on a AK=-3/2 AC
Donc KA =?

Pour KM, tu peux partir de KM=KA+AB+BM

maths26 · 17-10-2016 16:57:32

merci de votre aide, mon DM est terminé mais j'ai encore besoin d'un peu d'aide pour la 2)c- "montrer que K,L et M sont alignés" je ne vois pas du tout comment on peut faire étant donné que dans la question 1)b- on le démontre déjà mais avec des calculs, ce qui voudrait dire qu'il faut maintenant le démontrer mais avec des vecteur ??

Dernière modification par maths26 (17-10-2016 17:17:40)

tibo · 17-10-2016 17:48:12

Oui il faut le montrer à nouveau.
Mais comme tu n'a pas de coordonnées tu ne peux pas utiliser la relation de colinéarité xy'-x'y=0.

Cette fois il faut revenir à la définition et montrer qu'il existe un réel $k$ tel que $\overrightarrow{KL}=k\overrightarrow{KM}$.

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