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sbl_bak

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espace vectoriel de dimesion finie

Bonjour,

Soit $E$ un espace vectoriel normé de dimension finie.
Soit $I : R^N \rightarrow E$ qui associe pour $x \mapsto \sum_{j=1}^{N}x_{j}e_j$
L'application I(x) est une bijection linéaire. Il faut montrer qu'elle est continue.

$||I(x)||_E \leq \sum_{j=1}^{N}|x_{j}|.||e_j||_E$

N'y a t-il pas un problème dans certaine inégalité? pouvez vous m'aider à détailler?

Car si $T: E \rightarrow F$
$||T(x)||_F \leq ||T||.||x||_E$

Merci d'avance

sbl_bak

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Re : espace vectoriel de dimesion finie

....ah ! je pense avoir la réponse dans ce que j'ai écrit.

I est une bijection linéaire donc nous pouvons écrire : $||I(x)||_E = ||x||_E \leq sup|\sum_{j=1}^{N}x_{j}.e_j| \leq \sum_{j=1}^{N}|x_{j}|.sup|e_j| \leq ||x||_{\infty}\sum_{j=1}^{N}||e_j||_E $

Je ne suis pas sur du passage à la deuxième inégalité.

Dernière modification par sbl_bak (16-10-2016 06:28:18)

Yassine

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Re : espace vectoriel de dimesion finie

Bonjour,

....ah ! je pense avoir la réponse dans ce que j'ai écrit.

I est une bijection linéaire donc nous pouvons écrire : $||I(x)||_E = ||x||_E \leq sup|\sum_{j=1}^{N}x_{j}.e_j| \leq \sum_{j=1}^{N}|x_{j}|.sup|e_j| \leq ||x||_{\infty}\sum_{j=1}^{N}||e_j||_E $

Je ne suis pas sur du passage à la deuxième inégalité.

Dans la première égalité, l'écriture $||x||_E$ est incorrecte, $x \notin E$ et tu ne peux pas prendre sa norme dans $E$.
Après, dans le terme $|\sum_{j=1}^{N}x_{j}.e_j|$, tu n'a pas définit ce que $| y |$ voulait dire pour $y \in E$.
Le dernier passage n'est pas non plus évident (en supposant que $| y |$ veut dire $\| y \|_E$)

sbl_bak

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Re : espace vectoriel de dimesion finie

Bonjour Yassine
Effectivement $x\notin E$  pour les autres points je ne vois pas.

Yassine

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Re : espace vectoriel de dimesion finie

Je vais supposr que ce que tu notes $|y|$ pour $y\in E$ est en réalité $\|y\|$ (j'omet l'indice $E$, il n'y a pas de risque de confusion)

Tu affirmes que $\displaystyle \sum_{i=1}^N | x_i | \sup_{j} \| e_j \| \le \sum_{i=1}^N \| e_i \| \sup_{j} | x_j | $
(j'ai corrigé la notation : dans ton post, tu utilises le même indice pour la somme et le sup,ce qui est incorrect. Ici, j'ai pris $i$ pour la somme et $j$ pour le sup)
Ecrit autrement : $\displaystyle \sup_{j} \| e_j \| \sum_{i=1}^N | x_i |  \le \sup_{j} | x_j | \sum_{i=1}^N \| e_i \|  $
Si tu prends par exemple $x_i = 1$, cela donnerait : $\displaystyle N \sup_{j} \| e_j \| \le \sum_{i=1}^N \| e_i \|$, ce qui est faux en général (il faut que la base soit normée ou du moins que les vecteurs aient la même norme)

sbl_bak

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Re : espace vectoriel de dimesion finie

Bonjour Yassine,
si je comprends bien l'inégalité ci-dessous est fausse si l'on prend par exemple $x_i=1$,
$\displaystyle \sup_{j} \| e_j \| \sum_{i=1}^N | x_i |  \le \sup_{j} | x_j | \sum_{i=1}^N \| e_i \|$
Est ce que j'ai bien compris.

Alors comment arrivé à l'inégalité : $||I(x)||_E = ||x|| \leq \sum_{j=1}^{N}|x_{j}|.||e_j||_E$

Yassine

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Re : espace vectoriel de dimesion finie

Oui, en effet. avec $x_i=1$, c'est dans l'autre sens que l'inégalité est correcte : $\| e_i \| \le \sup_j \| e_j \| \Rightarrow \sum_i \| e_i \| \le N \sup_j \| e_j \|$.

Pourquoi d'abord aurait-on la première égalité ($||I(x)||_E = ||x||$) ?

Je pense que pour montrer la continuité, il faut procéder comme suit : $||I(x)||_E = ||\sum_{j=1}^{N}x_{j}e_j||_E$,
par inégalité triangulaire, on a $||I(x)||_E \le \sum_{j=1}^{N}|x_{j}|\|e_j\|_E \le \left(\sup_i |x_i|\right)\left(\sum_{j=1}^{N} \|e_j\|_E  \right) \le C \|x\|_{\infty}$
où j'ai noté $C = \sum_{j=1}^{N} \|e_j\|_E$.

Tu as donc $||I(x)||_E \le C \|x\|_{\infty}$ CQFD.

sbl_bak

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Re : espace vectoriel de dimesion finie

Merci beaucoup Yassine!