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sbl_bak

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Espace des suites de fonction

Bonjour,

Je souhaite montrer que $l^\infty$ est complet.

Je procédé de la fonction suivante (enfin le bouquin!):

soit $(x_n)_n\in l^\infty$ une suite de Cauchy

$\forall \epsilon>0, \exists N\geq 1$ tel que $ ||x_n-x_{n+p}||<\epsilon$, $\forall n\geq N$, $p\geq 0$ (1)

On peut écrire : $k\in K^n$, $|x_n(k)-x_{n+p}(k)|<\epsilon$, $\forall k\geq 1$ $\forall n\geq N$, $p\geq 0$ , (2)

$\forall k\geq 1$ la suite $x_n(k)$ est de Cauchy dans $K$, donc $x_n(k)\rightarrow x(k)$

lorsque que $p\rightarrow \infty$ (dans (2)), alors $|x_n(k)-x_(k)|<\epsilon$ (3)

Après on doit montrer que $x \in l^\infty$ (4).

J'ai les questions suivantes :
1_ comment passe t-on de (1) vers (2)
2_ pourquoi faite tendre p vers l'infini dans (2) pour nous donner
3_comment fait on pour montrer (4)

Merci d'avance de vos explications.

Dernière modification par sbl_bak (09-10-2016 11:08:02)

Fred

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Re : Espace des suites de fonction

Salut,

1_ C'est la même chose que pour l'autre post. Ecris la définition de la norme (c'est une borne supérieure, non, donc si la borne supérieure d'un ensemble est inférieure ou égale à A, c'est que tous les éléments de cet ensemble sont inférieurs ou égaux à A).

2_ Je ne comprends pas ta question.

3_ Tu écris (2) avec $\varepsilon=1$. Tu fais tendre $p$ vers l'infini. Tu as donc, en utilisant (3) avec $\varepsilon=1$ et $n=N$ :
Pour tout $k\in\mathbb N$, $|x_N(k)-x(k)|<1$, d'où $|x(k)|\leq |x_N(K)|+1\leq \|x_N\|+1$
ce qui démontre que $x\in \ell^\infty$.

F.

sbl_bak

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Re : Espace des suites de fonction

Bonjour, merci pour les réponses

Concernant la question 2_ je voulais écrire
2_ pourquoi faire tendre p vers l'infini dans (2) pour nous donner le résultat de (3)?

Question naïve mais je souhaiterai avoir une explication avec des mots pour me confirmer ma compréhension.

Merci d'avance

Fred

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Re : Espace des suites de fonction

Re-

  L'idée je pense est assez simple. Tu veux démontrer qu'un espace de suites de fonctions est complet.
Tu prends une suite de Cauchy de cet espace.
Quand on fixe un point où la fonction est définie (ici, avec tes notations, cela revient à fixer $k$),
la suite est de Cauchy dans le corps de base qui est complet, donc elle converge.

Il faut ensuite revenir à la suite de fonctions pour démontrer qu'elle converge dans l'espace de suites de fonctions.C'est ce que tu fais quand tu passes de (2) à (3). Tu passes de la définition d'une suite de Cauchy à la définition d'une suite convergente.

F.

sbl_bak

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Re : Espace des suites de fonction

Merci. c'est clair!