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sbl_bak

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Sous-suite

Bonjour à Tous,

Alors voila, je ne comprends pas l'utilisation des sous-suites i.e à partir d'une $u_n$, qui ne converge pas, alors on peut en extraire une sous suite convergente en éliminant des termes de $u_n$.

Définition sous suite (extrait de Binm@th)
Soit $(un)$ une suite, et $f:N->N$ une fonction strictement croissante. La suite $(u_f(n))$ s'appelle suite extraite ou sous-suite de $(un)$. Une suite extraite de $(u_n)$ est donc une suite fabriquée à partir de $(u_n)$ en sélectionnant certains termes.

Exemple ((extrait de Binm@th)) que je n'arrive pas à comprendre.
Soit $(u_n)$ une suite de nombre réels.
1 - On suppose que $(u_n)$ est croissante et qu'elle admet une suite extraite convergente. Que dire de $(u_n)$?
2 - On suppose que $(u_n)$ est croissante et qu'elle admet une suite extraite majorée. Que dire de $(u_n)$?
3 - On suppose que $(u_n)$ n'est pas majorée. Montrer qu'elle admet une suite extraite qui diverge vers $+\infty$.

Remarque sur le point 3. Si $u_n$ n'est pas majorée est ce que cela implique que dans les cas la suite extraite diverge?

J'ai vraiment besoin de comprendre et de mettre en pratique cette notion car je l'utilise dans le cadre des espaces compacts & dans le théorème de Bolzano-Weierstrass. D'ailleurs une remarque, je comprends plus facilement la notion de recouvrement fini qui nous permet de montrer qu'un espace est compact, y-a-t-il un lien direct avec les sous suites ou bien est ce deux approches différentes?

Merci d'avance de vos explications.

Dernière modification par sbl_bak (05-10-2016 08:52:05)

Yassine

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Re : Sous-suite

Bonjour,
Prenons par exemple une suite très simple $u_n = 1/n$. Ses premiers termes sont $1,1/2,1/3,\cdots$. Imaginons maintenant que je m'intéresse à la suite $v_n$ des inverses des seuls nombres premiers $1/3,1/5,1/7,1/11,\cdots$. On a donc $v_1=1/3$, $v_2=1/5$,...
Bien sûr, tous les termes de $(v_n)$ sont également des termes de $(u_n)$ : $v_1 = u_3$, $v_2 = u_5$, etc. Donc, si je connais la fonction $\pi(n)$ qui donne le $n$-ième nombre premier, $v_n = u_{\pi(n)}$. C'est ce mécanisme qui est formalisé par la définition qui tu donnes : la fonction $f(n)$ vient "choisir" les termes de la suite principale qu'on veut retenir. L'exigence de la croissance est pour assurer qu'à chaque fois, tu ne peux garder que des termes de rang supérieur à ceux que tu as déjà sélectionnés.

Prenons maintenant un exemple un plus plus riche : $u_n = e^{(-1)^n n}$. On voit que selon la parité de $n$, les termes sont très grands (pour $n$ pair) ou très petits (pour $n$ impair). Donc si on sélectionne que les termes de rang pair, la suite extraite tends vers $+\infty$, et si on sélectionne les termes de rang impair, la suite converge vers $0$.

Pour les exemples :
1- Tu peux d'abord montrer que la suite complète est majorée par la limite de sa sous-suite. Ensuite, tu as une suite croissante majorée, elle admet donc une limite. Cette limite est obligatoirement la même que celle de sa sous-suite.
2- C'est un peu la même chose, la sous-suite est également croissante, comme elle est majorée, elle a une limite, ...
3- C'est un peu similaire à l'exemple que j'ai donné avec la suite $u_n = e^{(-1)^n n}$. Tu peux procéder en construisant directement la sous-suite : au rang $n$, la suite $(u_n)$ n'étant pas majorée, elle possède forcément un terme plus grand que $n$, disons $r(n)$, on peut s'arranger pour avoir $r(n)>r(n-1)$. Donc, par construction $u_{r(n)} > n$.

Le théorème de Bolzano-Weierstrass donne une équivalent entre compacité et possibilité d'extraire une sous-suite convergente de n'importe quelle suite sur les espaces métriques.

freddy

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Re : Sous-suite

Salut,

pour compléter Yassine sur les points 1 et 2, j'ajouterai que la conclusion repose sur l'unicité de la limite d'une suite convergente. Ceci donne un intérêt certain à la fabrication de sous-suites extraites pour en déduire le comportement de la suite principale.
D'où les mille et une manières de définir un compact (ensemble fermé et borné).

sbl_bak

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Re : Sous-suite

Bonjour, merci beaucoup pour vos réponses.

Remarque sur le point 3. Si $u_n$ n'est pas majorée est ce que cela implique que dans tous les cas la suite extraite diverge?
Cette question n'a pas de sens à mon avis.
Car si $\phi(n)\geq n$ et construite par rapport à $u_n$ on aura toujours $u_n \leq u_{\phi(n)}$, est ce vrai?

Concernant l'exemple $u_n = e^{(-1)^n n}$ les deux sous suites ont leurs limites différentes donc $u_n$ ne converge, est ce que j'ai compris?

D’où la remarque de Freddy, "...l'unicité de la limite d'une suite convergente".

J'ai un exemple d'utilisation de sous suite dans la démonstration de Heine.
Démonstration du Théorème de Heine

Dans ce cas on a pris une suite $\phi : N\rightarrow N$ tel que $\phi(n) \geq n$.
On a donc $|x_n-y_n| \leq 1/n$.
La suite $x_n$ est sur le compact I donc bornée. Elle admet une sous suite $x_{\phi(n)}$ qui converge vers c ;  $x_{\phi(n)} \rightarrow c$.

Dans la démonstration ils disent : " on en déduit que $y_{\phi(n)}$ qui converge vers c". je vais essayer de déduire!

$\displaystyle \frac{1}{\phi(n)} \geq |x_{\phi(n)}-y_{\phi(n)} \geq |x_{\phi(n)}|-|y_{\phi(n)}|$

d’où $\displaystyle |y_{\phi(n)}| \leq |x_{\phi(n)}| - \frac{1}{\phi(n)}$

Quand $n \rightarrow +\infty$ $y_{\phi(n)} \rightarrow c$

Est-ce que ma déduction pour la convergence de $y_{\phi(n)}$, est bonne.

Pour le reste la démonstration pour la continuité de $f$ pas de problème particulier.

Dernière modification par sbl_bak (06-10-2016 10:42:32)

Yassine

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Re : Sous-suite

Car si $\phi(n)\geq n$ et construite par rapport à $u_n$ on aura toujours $u_n \leq u_{\phi(n)}$, est ce vrai?

Non. Dans le cas 3), il n'est pas dit que la suite est croissante, juste qu'elle n'est pas majorée. Considérer par exemple $u_n = e^{(-1)^n n}$.

Concernant l'exemple $u_n = e^{(-1)^n n}$ les deux sous suites ont leurs limites différentes donc $u_n$ ne converge, est ce que j'ai compris?

D’où la remarque de Freddy, "...l'unicité de la limite d'une suite convergente".

Oui.
Pour couper les cheveux en quatre, la phrase "unicité de la limite d'une suite convergente" est un peu tautologique. Ce que voulait dire freddy, c'est que si la suite $(u_n)$ converge vers une limite $l$, alors toute suite extraite $u_{\phi(n)}$ converge vers la même limite.

Dans ce cas on a pris une suite $\phi : N\rightarrow N$ tel que $\phi(n) \geq n$.

Petit exercice amusant : montrer que toute fonction strictement croissante $\phi: \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ vérifie $\phi(n) \geq n$

Est-ce que ma déduction pour la convergence de $y_{\phi(n)}$, est bonne.

Non, le fait que $\displaystyle |y_{\phi(n)}| \leq |x_{\phi(n)}| - \frac{1}{\phi(n)}$ ne prouve ni que  $y_{\phi(n)}$ converge, ni qu'elle a la même limite si on sait qu'elle converge.

Il faut plutôt écrire 
$|y_{\phi(n)}- c| =  |(y_{\phi(n)} - x_{\phi(n)}) +(x_{\phi(n)}-c)| \leq |y_{\phi(n)} - x_{\phi(n)}| +|x_{\phi(n)}-c|$

Dernière modification par Yassine (06-10-2016 20:00:07)

sbl_bak

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Re : Sous-suite

Merci Yassine pour les corrections.

Pour etre sur que j'ai bien compris
$|y_{\phi(n)}- c| =  |(y_{\phi(n)} - x_{\phi(n)}) +(x_{\phi(n)}-c)| \leq |y_{\phi(n)} - x_{\phi(n)}| +|x_{\phi(n)}-c|$

$|y_{\phi(n)}- c| \rightarrow 0 $ lorsque $n \rightarrow \infty$ car
$|(y_{\phi(n)} - x_{\phi(n)|}) \leq 1/\phi(n) \rightarrow 0 $ lorsque $n \rightarrow \infty$
$ |x_{\phi(n)}-c| \rightarrow 0 $ lorsque $n \rightarrow \infty$

d’où $lim_{n\rightarrow \infty} y_{\phi(n)} = c$

freddy

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Re : Sous-suite

Salut Yassine,

"un peu tautologique", certes, mais dans l'esprit de certains, la divergence d'une suite signifie qu'elle tend vers ± l'infini, confondant convergente et bornée. Or c'est une mauvaise lecture de la phrase : une suite non convergente est dite divergente, ce qui signifie qu'elle n'admet pas de limite, comme, par exemple, la simplissime suite de terme général [tex]u_n=(-1)^n[/tex]. C'est un piège dans lequel des débutants tombent facilement.

Yassine

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Re : Sous-suite

Salut Yassine,

"un peu tautologique", certes, mais dans l'esprit de certains, la divergence d'une suite signifie qu'elle tend vers ± l'infini, confondant convergente et bornée. Or c'est une mauvaise lecture de la phrase : une suite non convergente est dite divergente, ce qui signifie qu'elle n'admet pas de limite, comme, par exemple, la simplissime suite de terme général [tex]u_n=(-1)^n[/tex]. C'est un piège dans lequel des débutants tombent facilement.

Re,
Comme disait un de mes mon profs, les mathématiques sont une série de tautologies ;-)
J'avais bien compris ton objectif, c'est pour ça que j'ai ajouté que je coupais les cheveux en quatre.

Dernière modification par Yassine (07-10-2016 07:50:37)

freddy

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Re : Sous-suite

Re,

René Thom lui-même disait dans les "mathématiques de la morphogénèse" : "tout ce qui est rigoureux est négligeable".
On est bien en phase !

sbl_bak

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Re : Sous-suite

merci à vous ;-)