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Gaetany

Invité

Analyse fonctions

Bonsoir!!

Si vous pourriez m'éclairer sur un point... Alors voilà j'ai du mal à saisir ce qu'est l'image d'une fonction telle qu'elle soit et comment la déterminer...

Merci d'avance

Fan3

Membre

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Re : Analyse fonctions

Par exemple dans une fonction  y= f(x)  : on dit que y est l'image de x  par  la fonction f

yoshi

Modo Ferox

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Re : Analyse fonctions

Bonjour,

La notion de fonction est abordée en classe de 3e, au travers d'un type simple : les fonctions affines.
Les fonctions sont essentiellement numériques : dans celles-ci, à partir d'un nombre d'un ensemble numérique de départ on obtient- en général -  un nombre de l'ensemble numérique d'arrivée. Le nombre de départ est l'antécédent, celui d'arrivée, l'image...
J'ai dit en général, parce que dans certains cas on ne trouve pas d'image : ainsi tout élément de [tex] \mathbb{R}^+[/tex] a bien une image dans [tex]\mathbb{R}^+[/tex] par la fonction racine carrée...
Si tu pars de l'ensemble [tex]\mathbb{R}^+[/tex], tous les nombres de cet ensemble de départ n'auront pas forcément une image dans  [tex] \mathbb{R}^+[/tex] : par exemple [tex]\sqrt{-4}[/tex] n'existe pas.

Imaginons que tu veuilles acheter par correspondance des huiles essentielles (par exemple) auprès d'une Société qui ne vend qu'à ses membres à jour de leur cotisation annuelle de b € et que tu paies a € le cL, la fonction f qui permet de calculer le coût d'un envoi de x cL est une fonction affine définie par [tex]f(x)= ax+b[/tex]
le [tex]x[/tex] est l'antécédent, ax+b l'image de x par la fonction f, c'est pourquoi, on dit aussi que f(x) est l'image de x par la fonction f. Mais il est clair que tu ne devras pas chercher le coût de x cL avec x négatif, s'pas...
La représentation graphique d'une fonction affine est une droite (ici d'une demi-droite, si on suppose illimité le le volume possiblement commandable.

Lorsqu'on utilise un téléphone portable avec la formule : b € pour 2 h de forfait mensuel plus a € la seconde de dépassement de forfait, pour x nombre de secondes de dépassement, le dépassement engendre un coût exprimé par [tex]f(x)=ax+b[/tex], encore une fonction affine...
Ensuite on 2nde on voit la fonction carré qui à tout [tex]x \in \mathbb{R}[/tex] fait correspondre un nombre de [tex]\mathbb{R}^+[/tex] :
[tex]f(x)=x^2[/tex] ou encore [tex]x\overset{f}{\longmapsto}x^2[/tex]. Dans le même ordre d'idée : la fonction cube).

Dans les fonctions usuelles de seconde, on trouve encore :
[tex]f:\mathbb{R}^* \longmapsto \mathbb{R}\\
  \quad\;\, \,x \;\, \longmapsto \frac 1 x[/tex] fonction qui à tout x non nul associe son inverse...
L'image de 2 par la fonction inverse est [tex]f(2)=\frac 1 2[/tex].

Je peux inventer d'autre fonctions comme :
[tex]f:\mathbb{R} \longmapsto \mathbb{R}^+\\
\quad\, \,x \; \longmapsto \frac{1}{\sqrt{x^2+9}}[/tex]
Je peux partir de quel antécédent x :
1. [tex]x^2+9[/tex],n'est jamais négatif donc la quantité sous la racine sera toujours "bonne",
2.[tex] x^2+9[/tex] n'est jamais nul donc l'ensemble de définition (c'est à dire l'ensemble des antécédents qui auront une image) est [tex]\mathbb{R}[/tex] tout entier.
Exemples de calcul d'images dans ce cas
[tex]f(4)=\frac{1}{\sqrt{4^2+9}}=\frac{1}{\sqrt{16+9}}=\frac{1}{\sqrt{25}}=\frac 1 5[/tex]
[tex]f(0)=\frac{1}{\sqrt{0^2+9}}=\frac{1}{\sqrt{9}}=\frac 1 3[/tex]

Il y en a bien d'autres...

@+

dolminM

Invité

Re : Analyse fonctions

bonjour; jai un devoir maison mais je ne comprends pas ; pouvez vous m'aider;
Répondre aux questions en précisant les images et les antécédants
1. L'aire d'un disque est-elle une fonction de so rayon?
2. Le volume d'un cube est-il une fonction de la longueur de son arete?
3. La vitesse moyenne d'un véhicule sur une distance de 50 km est-elle une fonction du temps mis pour la parcourir?
4. En France , le nombre d'enfants par famille est-il une fonction du revenu familial?

yoshi

Modo Ferox

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Re : Analyse fonctions

Salut,

Pour répondre toi-même aux questions  (c'est tout de même plus satisfaisant), demande-toi si
1. L'aire d'un disque dépend de son rayon, peut-elle s'écrire en utilisant le rayon et quelle est-elle ?
    Autrement dit, si tu connais ce rayon, peux-tu en déduire à coup sûr son aire ?

2. Le volume d'un cube d'un disque dépend de son arête, peut-il s'écrire en utilisant cette arête et quel est-il ?
    Autrement dit, si tu connais la longueur de cette arête, peux-tu en déduire à coup sûr le volume du cube ?

3. La valeur de la vitesse moyenne d'un véhicule sur une distance de 50 km dépend de du temps mis parcourir la distance ?
    Et comment calcules-tu cette vitesse v(t) si t est le temps (là, c'est un sacré coup de pouce) ?

4. Une famille possède des revenus... Le nombre d'enfants qu'elle a, qu'elle aura, qu'elle a eu dépend-t-il du montant de ces revenus.
    Autrement dit, si tu connais ces revenus, peux-tu calculer automatiquement le nombre d'enfants.

Si tu répons oui, alors l'antécédent (ce mot est aussi employé en grammaire : ante = avant), l'antécédent est le nombre de départ, celui que tu injectes dans ta formule, et l'image sera le résultat du calcul.

Si je te prends en photo, tu es l'antécédent l'APN est la fonction et la photo obtenue est... l'image.
NB : on n'a pas encore trouvé la fonction qui permet en prenant comme antécédent ta photo de t'obtenir, toi en chair et en os comme image...

C'est plus clair comme ça ?

Alors quelles sont tes réponses ?

@+