Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Terces

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Inégalité à démontrer.

Bonsoir,
Dans le cours d'intégration, on a montré que l'ellipse la plus courte pour une aire fixée est le cercle.
J'aimerais le montrer d'une autre manière mais j'ai un souci, je n'arrives pas à prouver que :

pour tout x>0 et a,b des réels alors :

[tex]2 \sqrt{a^2+b^2} \le \sqrt{(\frac{a}{x})^2+(xb)^2} + \sqrt{(\frac{b}{x})^2+(xa)^2}[/tex]

j'ai passé tout ca au carré puis j'ai isolé la racine restante à droite puis j'ai de nouveau tout passé au carré mais je n'arrives pas à conclure.
Je me retrouve a devoir montrer :

[tex]0 \le \frac{t^2(x^4+1)^2}{x^4}+\frac{8t(x^4+1)}{x^2}-16t^2[/tex]
avec [tex]t=a^2+b^2[/tex]

Voila, je ne sais pas faire autrement... pourtant l'inégalité me semble assez instinctive et me permettrait sauf erreur de conclure sur l’ellipse la plus courte pour une aire donnée.

Dernière modification par Terces (30-09-2016 23:07:47)

Fred

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Re : Inégalité à démontrer.

Salut,

  As-tu essayé d'étudier la fonction de deux variables qu'il te reste à la fin (en ayant au préalable multiplié l'inégalité par $x^4$ pour éviter les fractions???).

F.

Terces

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Re : Inégalité à démontrer.

Re,

En fait j'ai du me tromper : on n'a pas équivalence entre ma première et ma deuxième inéquation, si je prends x=1 et t=2 on voit le problème.
Je vais chercher d'avantage.

Terces

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Re : Inégalité à démontrer.

Ha c'est bon j'ai trouvé !

Par Chasles on voit que :
[tex]\sqrt{(xa+\frac{a}{x})^2+(xb+\frac{b}{x})^2} \le \sqrt{(\frac{a}{x})^2+(xb)^2} + \sqrt{(\frac{b}{x})^2+(xa)^2} [/tex]

Je cherche donc : [tex]2\sqrt{a^2+b^2} \le \sqrt{(xa+\frac{a}{x})^2+(xb+\frac{b}{x})^2}[/tex]
Et on trouve facilement que c'est vrai avec égalité pour x=1.

Dernière modification par Terces (01-10-2016 09:20:35)