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jeanrek

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groupe diedral D8 : correspondance symétries et permutations

Bonjour,

Amateur de mathématiques ( j'étudie seul, sans aide extérieure institutionnelle ou personnelle), je bute depuis quelque temps, à propos des groupes diedraux comme par exemple D8, le groupe de symétrie du carré, sur la correspondance entre composition purement géométrique de symétries, et la composition correspondante des permutations qui expriment ces symétries.Autrement dit, je n'avais pas toujours le même résultat en composant les symétries géométriquement et en traduisant le résultat en une permutation, ou à l'inverse en traduisant les symétries en permutations et en faisant ensuite la composition de ces permutations ( conformément à la loi fondamentale du morphisme entre symétries et permutations).

Du côté de la composition de permutations, pas de problème je pense : je retrouve bien les résultats en vérifiant les tables de S3 ou S4 sur "groupprops" de wikipedia.

Du côté de la composition purement géométrique des symétries:
Je me suis référé à ce même "groupprops"qui pour le "dihedral group D8" définit ainsi les éléments de D8 :
- a, a2, a3 : les rotations sens contraire montre de 90,180,270 degrés ( soit les permutations (1234), (13)(24),(14) (32)
-x : reflection about the diagonal joining vertices 2 et 4. soit donc ce qui correspond à la permutation (1,3)
-ax : reflection about the line joining midpoints of opposite sides 1-4 and 2-3. ( soit la double permutation (1,4)(2,3)
-a2x : reflection about the diagonal joining vertices 1 et 3, soit donc ce qui correspond à la permutation (2,4)
-a3x : reflection about the line joining midpoints of opposite sides 1-2 and 3-4(soit la double permutation (12)(34)

Je rappelle cela car j'ai remarqué que cette description ne fait pas appel aux concepts de "horizontal" ou "vertical" ni de "diagonale ascendante" et "diagonale descendante".

Par ailleurs j'ai lu que, si on inscrit 1,2,3,4 sur un carré de papier (1 en haut à gauche ,2 en haut à droite, 3 en bas à droite, 4 en bas à gauche, bref dans le sens de la montre), faire la symétrie ax se traduit pratiquement par le retournement du carré verticalement, de sorte qu'on voit au verso, par transparence, 4-3 en haut et 1-2 en bas.
De même la reflexion x se traduit par le retournement du carré par la diagonale 2-4 de sorte qu'on lit au verso en transparence 3-2 en haut et 4-1 en bas.
Si on a déja effectué une de ces reflexions, c'est à dire un de ces retournements, et qu'il faut faire une rotation, on tournera le verso, qu'on a face à soi, sens montre, afin que le recto tourne bien lui en sens contraire montre.

J"ai donc appliqué ces principe avec le carré comme décrit plus haut et les symétries telles que décrites par groupprops, c'est-à-dire en considérant les reflexions par rapport aux sommets en cause exclusivement, et alors la correspondance symétries- permutations est parfaite.
Par exemple:

ax.a2x = reflexion diagonale (a2x) puis mediane (ax) :
              Pour a2x, je permute 2 et 4 suivant l'axe 1-3) donc je retourne le carré en suivant la diagonale 1-3 et cela donne, verso face à moi: 1 4
                                                                                                                                                                                                              2 3
pour ax : reflexion suivant la ligne joignant les milieux de 1-4 et 2-3: compte tenu de la manipulation précédente, la ligne de symétrie est verticale et j'échange donc horizontalement 1-2 et 4-3 ce qui aboutit à 4 1    si je compare avec 1  2 , la configuration initiale du carré,
                                                                                                       3 2                                4  3   

cela donne bien la permutation (1234
                                               4123)

c'est-à-dire a3, qui est bien la composition des permutations correspondant à a2x : (2,4) et ax : ( 1,4)(2,3) effectuées concrétement dans cet ordre.

Dans le cas d'une rotation suivant une reflexion, donc un retournement du carré, je procède comme dit plus haut en tournant le carré dont le verso me fait face dans le sens des aiguilles afin que le recto tourne lui dans le sens trigonométrique, comme, je crois, il se doit.

Ne disposant d'aucune référence me permettant d'être sûr d'être juste, puisque je me suis reposé sur diverses phrases glanées çà et là, je serai très reconnaissant à qui voudra bien avoir la patience de lire cette intervention très détaillée, de me confirmer que je suis dans le vrai, ou à l'inverse bien sûr, me dire comment procéder.

Les mathématiques sont une science exacte et exigeante, il me parait normal d'éliminer tout à-peu-près, avant de poursuivre.

Merci d'avance.

Dernière modification par jeanrek (13-07-2016 16:56:17)

jeanrek

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Re : groupe diedral D8 : correspondance symétries et permutations

Attention : dans mon exemple ax.a2x ( lire ax. a carré x) il y a des décalages dans les carrés que j'indique : il faut lire successivement :
- le 23 en bout de ligne sous le 14.
- quelques lignes plus bas, le 32 sous le 41,  et le 43 sous le 12
- et enfin, pour la permutation, le 4123)  sous le (1234
  Excuses mais à chaque fois que je valide ça décale les chiffres.

yoshi

Modo Ferox

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Re : groupe diedral D8 : correspondance symétries et permutations

Salut,

Je vais probablement enfoncer des portes ouvertes (mais sait-on jamais ?),peut-être les liens suivants peuvent-ils-il t'aider :
https://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9fl … 9matiques)

http://mathbitsnotebook.com/Geometry/Tr … tions.html

http://www.mathwarehouse.com/transforma … heorem.php

N-B : quand on fait des Maths on ne parle pas de sens inverse des aiguilles d'une montre, mais de sens trigonométrique, parfois aussi de sens direct ^_^

Excuses mais à chaque fois que je valide ça décale les chiffres.

Il y a un remède simple à ça que j'utilise régulièrement depuis que feu notre doyen et expert en cryptographie ancienne nous a quitté.
Il se plaignait de ce problème, alors Fred lui a contacté une variante dans la balise code : code=crypto qui utilise une police à espacement fixe...
Et pour les besoins des maths (tableaux par ex), je l'ai détournée à mon profit...
Essaie donc.

@+