Equation sur les entiers

Dlzlogic · 10-07-2016 13:40:39

Bonjour,
La question est simple, l'équation 2(x²+y²)=x²y² a-t-elle une solution ?
x et y sont des entiers. Il n'y a pas de faute de frappe.
Ce sujet est plus ou moins en relation avec des échanges à propos de ce qu'est un nombre, mais j'ai préféré ouvrir un autre sujet.
Bonne journée.

leon1789 · 10-07-2016 13:52:15

Salut
la réponse est simple également : oui, il y a une solution (x=y=0)

Dlzlogic · 10-07-2016 14:14:56

Est-ce la seule ? Si oui ou non, pourquoi ?

leon1789 · 10-07-2016 14:50:44

Non, ce n'est pas la seule (x=y=2)

Dlzlogic · 10-07-2016 15:05:07

Les avis sont partagés : un nombre de degré 1 peut-il être égal à un nombre au carré ?
Autrefois, il y avait un chapitre en math qui s'appelait "équations aux dimensions". C'est donc périmé ?

leon1789 · 10-07-2016 15:39:52

Les avis de qui ?
Qu'appelles-tu le degré d'un nombre ?

L'équation aux dimensions est un "chapitre" de physique comme l'indique ce document (par exemple)
http://ressources.univ-lemans.fr/AccesL … unites.pdf

yoshi · 10-07-2016 15:41:44

Re,

Je n'ai de souvenir d' "équations aux dimensions" qu'en Physique...
Depuis ma Math Elem, je n'en ai plus jamais entendu parler.
Et je ne vois pas pourquoi un nombre de degré 1 ne pourrait être égal à un nombre de degré 2...
Si ta réponse est non alors[tex] (\sqrt 3)^2 \neq 3[/tex], [tex]4\neq 2^2[/tex], and so on...

@+

Dlzlogic · 10-07-2016 16:00:32

Bon, ici il s'agissait d'inconnues d'une équation, et non de nombres sans signification (pardon, ne représentant pas une valeur).
C'est pas grave. Merci pour les commentaires.

leon1789 · 10-07-2016 16:25:18

Tes questions ont trouvées leurs réponses.
Il faut commencer par s'exprimer clairement (et c'est pas si facile) si on veut une réponse adaptée.

Les avis de qui ?
Qu'appelles-tu le degré d'un nombre ?

comme d'habitude, pas de réponses...

Dernière modification par leon1789 (10-07-2016 17:17:51)

freddy · 10-07-2016 17:11:28

Salut,

encore un dossier pour la série US " X-files : la vérité est définitivement ailleurs ..." : mais où sont passés les nombres sans dimension :-)))

leon1789 · 10-07-2016 17:21:37

en fait, x et y sont peut-être des mesures de longueurs (unité : m)
Du coup, 2 est une constante de surface (unité : m²)
et ainsi l'équation est homogène (en $m^4$) comme disent les physiciens (et les matheux aussi, confer la théorie des anneaux gradués).

Dlzlogic · 10-07-2016 18:40:01

Freddy a écrit :

mais où sont passés les nombres sans dimension :-)))

On s'en sert très souvent, par exemple pi, e, toutes les lignes trigonométriques etc. Peut-être je t'apprends quelque-chose ?
La réponse de Léon convient, "2" peut très bien être une constante qui correspond à des m², ou d'une façon générale à une valeur de même unité que les deux inconnues (compte-tenu du carré), qui par ailleurs, dans le cas présent de cette équation simplifiée, sont forcément égaux, au signe près. Là l'équation aurait un sens.

[Edit] J'ai un exemple très sympathique :
Q= K^k . A^a . C^b . I^c
Q est exprimé en m^3/s ; A est une aire ; C est un coefficient, donc, sans unité et I est aussi un rapport. Il en résulte que le coefficient K est homogène à une vitesse. Les paramètres a, b, c et k sont des paramètres dépendant eux-mêmes de différentes choses.

Dernière modification par Dlzlogic (10-07-2016 18:55:55)

tibo · 10-07-2016 18:49:27

Salut,

Je pense, comme Leon, que tu voyais peut-être x et y comme des nombres ayant une dimension.
Tu aurais précisé dans ton énoncé "x et y sont des longueurs entières exprimées en mètre.", oui la il y aurait eu un problème.
Mais tu dis juste "x et y sont des entiers.". On a aucune raison de penser que x et y ont une dimension.
Surtout sur un forum de mathématiques où l'on ne manipule jamais (ou presque jamais) des nombres a dimension.
Et même si l'équation nous vient de la physique, en général le physicien a bien fait son boulot et son équation est homogène, et donc ce genre de considération ne nous intéresse pas tellement.

[edit] Je n'avais pas vu ton dernier post.
Je ne suis pas d'accord. Si tu écris juste "2", c'est un nombre sans dimension, sans unité, ou je ne sais quoi encore.
Si tu veux des $m^2$ alors tu écris $2m^2$.
Et dans le cas d'une expression littérale, à chaque lettre que tu utilises pour "remplacer" un nombre (ou même n'importe quel objet), tu dois préciser ce que représente cette lettre, notamment l'ensemble auquel il appartient, sa dimension s'il en a une,...

Dernière modification par tibo (10-07-2016 18:56:17)

Dlzlogic · 10-07-2016 19:26:43

@ Tibo,
Les auteurs de cette formule que j'ai rajoutée à titre d'exemple étaient certainement beaucoup plus mathématiciens que physiciens.
Il faudrait que tu précises la limite entre math et physique. Si on écrit une équation dans le but de la résoudre, il me semble qu'ont s'attende à avoir une ou des solutions, lesquelles doivent correspondre à quelque-chose qui correspond à ce qu'on cherche. L'unité, à vrai dire on s'en fiche, par contre, si l'équation n'est pas homogène, alors elle n'a pas de sens, sauf si les valeurs des solutions sont sans unité, par exemple une équation trigonométrique.
Je n'ai jamais vu d'équations où les unités sont précisées. Bien-sûr généralement on les précise à la suite du libellé, mais en l'occurrence ce n'était pas le cas.

leon1789 · 10-07-2016 23:55:04

Dlzlogic a écrit :

Si on écrit une équation dans le but de la résoudre, il me semble qu'ont s'attende à avoir une ou des solutions, lesquelles doivent correspondre à quelque-chose qui correspond à ce qu'on cherche.

Tu as ouvert ce topic en demandant de résoudre 2(x²+y²)=x²y² .
On a donné deux solutions,
à toi de dire à quoi elles correspondent
puisque c'est toi qui apportes l'équation, tu sais ce que tu cherches (nous non),
les solutions ne sont pas sans signification (comme tu dis).

Et je ne vois toujours pas en quoi les avis (de qui ?) sont partagés (sur quoi ?).

yoshi · 11-07-2016 06:53:27

Bonjour,

Pour autant que je me souvienne une équation aux dimensions s'écrit avec des grandes lettres et on 'utilise pas de constantes ni de "paramètres dépendant eux-mêmes de différentes choses " sauf si ces paramètres prennent eux-mêmes des unités...
En l'occurrence, j'aurais écrit :
[tex]U_K \text{(comme unité)} = L^3T^{-1}L^{-2}=L^{3-2}T^{-1}=LT^{-1}[/tex]
Parce qu'on se servait de L (longueur) T (temps) M (masse)... s'il y en avait d'autres j'ai oublié...

Et à l'époque ce n'était pas la mode d'utiliser des puissances négatives : [tex]\frac L T[/tex] est bien une vitesse...

Et ignorais que l'on pût dire "homogène à ..." : j'ai vérifié.

Au fait, leon a demandé ce que tu appelles nombre de dimension 2, 3... J'ignorais aussi cette notion.

Avis partagés = nous ne sommes pas tous d'accord... Comme leon, le demande ui est en désaccord avec quoi et qui ?

@+

Dlzlogic · 11-07-2016 12:04:12

Bonjour,
Pour une fois, je réponds à Léon.
Sur un forum périphérique la question a été posée de résoudre x²+y²+z²=x²y²
Au cours des échanges, il a été évoque la "non homogénéité" de l'équation, puisqu'il avait du degré 2 à gauche du signe '=' et du degré 4 à droite. Il y a eu une contre-réponse avec l'équation que j'ai posée dans ma première ligne.
J'ai ouvert ce sujet, non pour avoir une résolution mais pour avoir votre avis, indépendamment de l'équation avec x,y et z d'origine.
Bien-sûr, j'aurais pu dire "cette équation est-elle valide ?". J'ai préféré demander si elle avait une solution. Mais je ne crois pas que ma question pouvait être comprise comme "quelles sont les solutions ?".
Merci à Yoshi d'apporter ces précisions importantes.

leon1789 · 11-07-2016 13:00:04

Dlzlogic a écrit :

Sur un forum périphérique la question a été posée de résoudre x²+y²+z²=x²y².
Au cours des échanges, il a été évoque la "non homogénéité" de l'équation, puisqu'il avait du degré 2 à gauche du signe '=' et du degré 4 à droite.

En effet, je suis bien d'accord : x²y² est un polynôme homogène de degré 4, et x²+y²+z² un polynôme homogène de degré 2.

/!\ si les coefficients cachent une graduation (théorie des anneaux gradués en math, ou bien histoire d'unité en physique), la conclusion est à réévaluée... Mais pour l'instant, avec les seules informations données, on n'est pas dans ces cas spéciaux.

Dlzlogic a écrit :

Il y a eu une contre-réponse avec l'équation que j'ai posée dans ma première ligne.

une contre-réponse à quelle affirmation ?

Dlzlogic a écrit :

J'ai ouvert ce sujet, non pour avoir une résolution mais pour avoir votre avis

notre avis sur quoi ? Sur le fait que l'équation possède au moins une solution ou sur son homogénéité mathématique ou sur l'homogénéité en physique ?

Dlzlogic · 11-07-2016 13:40:47

Bonjour, Léon,
Je comprends que Freddy ait trouvé cette question idiote, mais de ta part, ça m'étonne.
On peut la résumer ainsi "Soit une équation. Le degré des polynômes à droite et à gauche du signe '=' n'est pas le même, comme par exemple x²+y²+z² = x²y². Cette équation a-t-elle un sens ?" Contre-réponse : "Oui par exemple 2(x²+y²)=x²y² qui admet plusieurs solutions. "
Un raisonnement compliqué conduit à l'unique solution x=y=z=0. Cela peut-il être considéré comme une vraie solution, ou plutôt cela signifie-t-il que ni x, ni y, ni z n'existent ? Autrement dit qu'il est impossible de trouver un triplet (x,y,z) solution de l'équation.
Pour la seconde équation, dans l'hypothèse où on admet qu'il y a des solutions {|x| = |y| = 2} cela implique-t-il que '2' est une constante qui a pour unité celle de x et y au carré ? Volontairement, j'ai "oublié" x=y=0.

J'ai posé la question avec l'hypothèse que l'on se situait dans l'ensemble des entiers. Pour le cas des réels, serait-ce un autre problème ? Évidemment, cela me fait penser à une méthode efficace qui consiste à "développer puis identifier les coefficients".

leon1789 · 11-07-2016 14:42:38

Mathématiquement, les équations x²+y²+z² = x²y² et 2(x²+y²)=x²y² ont un sens : je ne vois pas où est le problème. En même x^2+x+1=0 a un sens, bien que sans solution sur R (et mathématiquement, elle a deux solutions ailleurs). Pour moi "avoir un sens" et "avoir une solution" ne sont pas synonymes.

Physiquement, le coefficient "2" peut avoir la même unité que celle de "x²" et "y²".
Et de même dans la première équation, le coefficient "1" devant x², et y², et z² peut avoir la même unité que celle de "x²" et "y²" et "z²".
Donc physiquement, il n'y a pas de problème non plus : on peut trouver des situations ont ces équations ont un sens.

Dernière modification par leon1789 (11-07-2016 16:06:34)

Dlzlogic · 11-07-2016 15:04:52

D'accord, merci, c'est clair.

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