Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bob

Invité

Produit scalaire -1er

Bonjour à toutes et tous,

Voici un petit exo je bloque sur la 2°) et 3°)

Soit un triangle ABC tel que : AB = 5 BC = 8  et AC=6
et G barycentre de (A,1);(B,2);(C,3)

1°) Exprimer le vecteur AG en fonction des vecteurs AB et AC

2°) Calculer le produit scalaire vect(AB).vect(AC)

3°) en déduire la distance GA

Pour la 1)° j'ai trouvé vect(AG) = 1/3 vect(AB) + 1/2 vect(AC)

Merci de vos idées.

Au plaisir de vous lire
Votre Bob dévoué

yoshi

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Re : Produit scalaire -1er

Bonjour,

Salut Master Bob et merci pour tes encouragements sur un autre post... Donc, ça m'a encouragé à me pencher sur ton exo :-)

Al Kashi, tu connais ? --> Résolution de triangles quelconques
Ici
[tex]BC^2 = AB^2 + AC^2-2AB.AC.cos(\hat {A})[/tex]
Avec ça, tu as le cos de l'angle...
Tu calcules ensuite :
[tex]\vec{AB}.\vec{AC}=AB.AC.cos(\hat {A})[/tex]
Et enfin, ta formule :
[tex]\vec{AG}={1 \over 3}\vec{AB}+{1 \over 2}\vec{AC}[/tex]
tu n'as plus qu'à l'élever au carré pour avoir AG²

(et c'est pourquoi on t'avait demandé de calculer avant ton produit scalaire...)

@+

Bob

Invité

Re : Produit scalaire -1er

Bonjour,

Al Kashi je connais pas, comment pourrai-je entre le Karscher et la Gégen !!! (je plaisante bien sûr...)

Bon mais en vrai le prof nous en a pas parlé ni du th de la médiane... mais il nous a donné cet exo... Peutèetre qu'il a la tête ailleurs ????

Tu verrais une autre façon de faire sans Al Kashi, c'est pas que je veux le reléguer, je ne fais aucun ostracisme que ça soit clair entre nous ... mais le prof nous en a pas parlé ...

Merci de tes cogitation Yoshi

Au plaisr de vous lire
Votre Bob dévoué

yoshi

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Re : Produit scalaire -1er

Salut,

A la lecture de ta réponse, je me suis dit que ce ce théorème d'Al Kashi (encore appelé "théorème de Pythagore généralisé") ne figurait peut-être pas au prg de 1S...
Vérifications faites, si ! Au chapitre... produit scalaire !
Au delà du nom du théorème (quand moi je l'ai appris, il n'avait pas de nom...) la formule donnée ne te rappelle rien ? Ouvre ton cahier, puis ton bouquin et vérifie quand même, un moment de distraction est si vite arrivé : le printemps, les petits oiseaux, les jolies voisines...

Sinon, alors là, je suis perplexe. Va falloir que je mette le turbo dans les neurones encrassées... encrassées ? c'est ce qui faut pour un coup de Karcher !
Toujours est-il que tu as besoin du cos de l'angle... ou alors va falloir que je trouve aut' chos' mon bon ami... Mais quoi ?
RV plus tard peut-être...

@+

[EDIT]
Qui t'a parlé du (des) théorème(s) de la médiane ?... C'est du même tonneau de toutes façons : ça fait partie du chapitre produit scalaire. Si tu n'as pas vu Al Kashi, tu n'as pas vu ça non plus, ce sont des théorèmes du cours que je redémontre :
(A' miileu de [BC])
[tex]\vec{AB}^2+\vec{AC}^2 = (\vec{AA'}+\vec{A'B})^2+(\vec{AA'}+\vec{A'C})^2[/tex]
Après développement, réduction, factorisation de [tex]\vec{AA'}[/tex], on arrive sur :
[tex]AB^2+AC^2= 2AA'^2+\frac{BC^2}{2}[/tex]
En outre :
[tex]\vec{AB}.\vec{AC}= (\vec{AA'}+\vec{A'B})(\vec{AA'}+\vec{A'C})[/tex]
Après développement et réduction, on arrive sur
[tex]\vec{AB}.\vec{AC}=AA'^2-\frac{BC^2}{4}[/tex]

A partir du 1er théorème, on tire AA'², qui permet de calculer le produit scalaire sans passer par le cosinus... Mais c'est du pipeau, parce que ces deux formules + la définition du prod scalaire permettent d'arriver sur le th. d'AL Kashi...
Là, j'ai rallongé la sauce, mais je ne vois pas comment faire autrement, si on n'utilise ni Al Kashi, ni ce théorème de la médiane...
Dans ce cas, je sèche...
Il faut attendre dans ce cas l'avis de Galdinx, John ou Fred qui passent souvent...

@+

Dernière modification par yoshi (22-04-2007 19:43:45)

Bob

Invité

Re : Produit scalaire -1er

Bonsoir,

Hélas (!) pour le moment personne ne m'a parlé du théorème d'Al  Kashi ni de celui de la médiane, mais n'étant pas manchot j'ai feuilleté mon bouquin effectivement sur le chapitre du produit scalaire (là ou réside l'exo) et j'ai eu la joie (!) de les trouver...

Sinon la formule de de théorème ne me rappelle pas grand chose, va savoir si je ne fais pas un Alzeihmer précoce... car c'est pas les jolies voisines qui peuvent expliquer un tel oubli!

Mais peut-etre notre honorable professeur nous a donné un exercice que nous ne pouvions pas encore faire, à moins que John ou Fred n'aient un éclair... du côté de Galdinx j'ai l'impression qu'il est faché à mort contre moi...l'a pas aimé mes déconnades... (je ne lui en veux pas, y en a qui prennent tout au sérieux, moi que prends tout au burlesque...)

Merci Yoshi d'avoir essayé et de ton aide.

Au plaisir de vous lire,
Votre Bob dévoué

yoshi

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Re : Produit scalaire -1er

Salut,

Bon, je suis persuadé à 99% qu'il n'ya pas d'autre méthode niveau 1ere pour répondre à ton souci...
1. Soit on utilise Al Kashi pur et dur comme dans mon 1er post,
2. Soit on "triche" et on se sert de la médiane. Je penche pour cette dernière solution : calcul de AA'² connaissant AB et AC (la formule s'établit sans trop de difficulté... à condition de savoir que ça existe), puis utilisation de la formule pour calculer le produit scalaire (qui s'établit sans trop de difficulté... toujours à condition de savoir qu'une telle formule existe).

Voilà

@+

Rainbow

Membre

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Re : Produit scalaire -1er

bonjour,
Ce n'est pas parceque AL-Kashi es tau programme de 1S, que le prof a déjà fait un cours decus. Il y a une méthode pour calculer le produit scalaire AB.AC, un peut bourrine, certe, pas élégante du tout, re-certe, mais qui fonctionne sans Al-kashi, ni la mediane.
Tu appelles H le pieds de la hauteur issue de C, tu écris pythagore dans AHC, puis HCB, et tu ecris que AH + HB=AB, tu obtiens un bô système qui te permet de trouver AH (ou HB suivant comment t'es partis). Ensuite il ne te reste plus quà ecrire que vect(AC).vect(AB)=vect(AH).vect(AB)=AH x AB (plus de vecteur), et le tour est joué!
Pour le reste, il te suffit de dévellopper vect(AG)^2.
voili voilou!

yoshi

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Re : Produit scalaire -1er

Bonjour,

Exact.
Mais, tant qu'à contourner l'obstacle autant le faire le plus vite possible et autant passer par la médiane, parce que là, c'est du calcul vectoriel de base et (je n'ai pas vérifié) je suis persuadé que ça plus vite que de passer par le pied de la hauteur...
De plus, dans un exo de barycentre et produit scalaire, ça me paraît plus dans l'esprit du problème...

La méthode avec le pied de la hauteur, dans certains manuels effectivement, sert à obtenir ledit produit scalaire sans avoir l'angle, et la formule d'Al Kashi est placée dans la foulée... Mais tu as raison, tu as trouvé le 1% de chance que je ne m'étais pas attribué, ça m'avait échappé, et j'en suis fort marri !
Dans les 2 cas de toutes façons, on utilise un point auxiliaire sur [BC], moi le pied de la médiane, toi le pied de la hauteur ; après c'est une affaire de goût...

Pour le reste, il te suffit de développer vect(AG)^2

Ca par contre, je l'avais déjà dit en précisant que c'était même la raison d'être de l'établissement de l'égalité :
[tex]\vec{AG}={1 \over 3}\vec{AB}+{1 \over 2}\vec{AC}[/tex]

           ;-)

@+

PS
ben il restait encore de la place pour une autre démo bien plus courte :
[tex](\vec{BC})^2=(\vec{AC}-\vec{AB})^2=AC^2+AB^2-2.\vec{AC}.\vec{AB}[/tex]
Soit encore :
[tex]\vec{AB}.\vec{AC}=\frac{AB^2+AC^2-BC^2}{2}[/tex]
Et il suffit de remplacer le produit scalaire par AB.AC.cos(A) pour retrouver...le théorème d'Al Kashi, encore lui !
Amusant, non ?

Dernière modification par yoshi (23-04-2007 20:36:51)

Bob

Invité

Re : Produit scalaire -1er

Bonsoir,

Avec (un peu) retard merci à Rainbow pour sa solution. Le prof commençait à dire qu'on n'avait pas assez avancé pour traiter l'exo et bien sûr j'ai rejeté avec véhémence une telle assertion! Trop facile de donner des exos et de pas savoir les résoudre, non mais!!! Il est resté sur le C... aprés ma démo ou là j'ai joué les modestes (si,si j'y arrive!)

Encore merci à tous...

Au fait y a plus personne sur ce site, il faudrait en faire la pub! A la sortie des bureaux de vote par exemple, ça vous dit pas ? Faut trouver un slogan, j'y réfléchis.
Demain interro : Prod scal et proba + electricité et chimie orga

Au plaisir de vous lire
Votre Bob dévoué

Bob

Invité

Re : Produit scalaire -1er

Bonsoir,

J'ai réfléchi !

Ségolène c'est pas la peine
Sarko c'est pas réglo
mais Bibmath c'est net.

C'est un début ....

A+
Votre Bob dévoué

yoshi

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Re : Produit scalaire -1er

Salut Bob,

Quelle imagination... !
Ceci dit, ce que tu as fait avec ton prof de Maths ce n'est pas bien...
Tu as pris un risque inconsidéré : imagine qu'à la suite de ton intervention, il porte la main à sa poitrine, pousse un grand cri et s'écroule, hein ? A cause d'un "cactus dans le myocarde" (comme disait Philibert, un des personnages d'un ancien humoriste, Jacques Bodoin)...
Qui aurait eu l'air malin, hein ? :-)

Courage pour ton interro ! si tu as ta conscience pour toi, aucun problème quelle qu'en soit l'issue !

@+