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#4 12-05-2016 15:25:46
- Roro
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Re : résolution des equations différentiels
Re,
J'avais répondu cela car si tu as une solution (x,y) alors x" et y" sont proportionnels. Tu peux donc en déduire une relation entre x et y, puis obtenir une équation différentielle sur x uniquement. Mais dans le cas général, cette équation ne me semble pas avoir de solution explicite.
Roro.
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#6 12-05-2016 17:30:05
- Roro
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Re : résolution des equations différentiels
Si tu obtiens l'équation dont tu parles (je n'ai pas vérifié) alors on peut peut être trouver les solutions. Multiplie par u' et intègre. Tu aura ensuite une équation sur u'...
Roro.
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#8 13-05-2016 15:35:31
- Roro
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Re : résolution des equations différentiels
Bonjour,
Tu as donc [tex]u'=\pm \sqrt{a/u+b}[/tex] où a et b sont deux constantes. C'est une équation à variables séparées dont tu peux obtenir les solutions en trouvant les primitives de [tex]x \mapsto 1/\sqrt{a/x+b}[/tex].
Roro.
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#9 14-05-2016 14:52:33
- pfe-fst
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Re : résolution des equations différentiels
bonjour,
poser le problème
x''=GM/(x-y)² ; y''=-Gm/(x-y)²
en tant que problème de Cauchy (dans un espace à définir)
u'(t)=f(u(t))
u(0)=u₀
en prenant pour données initiales
x(0)=0 et x'(0)=v y(0)=0 et y'(0)=-v (v>0, donné).
merci pour votre intérêt
Dernière modification par yoshi (14-05-2016 15:12:25)
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#11 17-05-2016 13:44:09
- pfe-fst
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Re : résolution des equations différentiels
bonjour
j'ai poser mon systéme différentielle sous forme d'un probléme de cauchy
X'(t)=F(X(t)) avec X(t))=(x1,x2,x3,x4)=(x,x',y,y')
x(0)=0 x'(0)=V
y(0)=0 y'(0)=-V
avec F(X(t))=(x2,-GM/(x1-x3)²,x4,Gm/(x1-x3)²)
je trouve que le theorem de cauchy-lipshitz n'est pas appliquable car les condition initial ne vérifié pas les condition de domaine de définition
j'ai changer les condition initial j'ai posé x(0)=epsilon et y(0)=-epsilon
je veux montrer est ce que théoreme de cauchy-lipshitz applicable , est ce que F est lipshitzienne pouvez-vous me donner une ideé de la montrer
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#12 17-05-2016 20:34:38
- Roro
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Re : résolution des equations différentiels
Bonsoir,
Je suis d'accord avec ta fonction F (il y a des erreurs de signes entre les différents posts, mais l'idée est la bonne...)
Avec les conditions initiales x(0)=y(0)=0, il est clair que ton problème est assez mal défini !
Ce type d'équation provient certainement d'une modélisation "physique" dans laquelle on ne doit pas avoir x(0)=y(0)...
Bref, si tu regardes le cas que tu suggères (x(0=-y(0)=epsilon>0) alors tu peux effectivement appliquer le théorème de Cauchy-Lipschitz en disant tout simplement que F est de classe [tex]\mathcal C^1[/tex] au voisinage du point initial (F sera donc localement lipschitzienne en ce point).
Roro.
P.S. Le nombre de fautes d'orthographe dans tes posts n'incitent pas à te répondre. Essaye d'y faire un peu plus attention car pour bien se faire comprendre quand on fait des maths, il faut aussi bien maitriser l'écriture !
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#14 20-05-2016 11:06:57
- pfe-fst
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Re : résolution des equations différentiels
bonjour
pouvez vous me donnée une idée pour résoudre ce intégral ∫(1/((u²-2c)²))du
-------------------------------------------
[edit]#yoshi
Cette intégrale ?
[tex] \int\frac{1}{(u-2c)^2} \,du[/tex]
Dernière modification par yoshi (20-05-2016 11:59:27)
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#15 20-05-2016 12:08:26
- yoshi
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- Messages : 17 402
Re : résolution des equations différentiels
Salut,
Si la réponse à ma question est oui et pour autant que c soit considérée comme une constante, ton intégrale est de la forme :
[tex]\int \frac{1}{x^2}\, dx[/tex] dont la réponse est [tex]-\frac 1 x[/tex].
Et dans ton cas :
[tex]-\frac{1}{u-2c}[/tex]
Au passage, sur tout forum, on respecte (pour garder un minimum d'ordre et de "lisibilité") la recommandation : un sujet = une diuscussion.
La prochaine fois, ouvre une nouvelle discussion.
@+
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#19 25-05-2016 14:02:24
- pfe-fst
- Membre
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- Messages : 19
Re : résolution des equations différentiels
bonjour
mon but est de calculer[tex]\Phi (z)=\frac{dz}{\sqrt[2]{\frac{4Gm}{z}+2C}}[/tex]
j'ai posée un changement de variable [tex]u=\sqrt{\frac{4Gm}{z}+2C}[/tex]
et j'ai obtient [tex]\Phi (u)=\frac{-8Gm}{(u%
%TCIMACRO{\U{b2}}%
%BeginExpansion
{{}^2}%
%EndExpansion
-2C)%
%TCIMACRO{\U{b2}}%
%BeginExpansion
{{}^2}%
%EndExpansion
}du[/tex]
j'ai fais le calcule de cette forme déffirentiels j'ai trouve selon mes données de probléme deux cas
on pose :
[tex]I=\int \frac{1}{(u%
%TCIMACRO{\U{b2}}%
%BeginExpansion
{{}^2}%
%EndExpansion
-2C)%
%TCIMACRO{\U{b2}}%
%BeginExpansion
{{}^2}%
%EndExpansion
}du[/tex]
1ere cas :C>0 est la solution est
on pose 2C=[tex]\alpha^{2}[/tex]
[tex]I=\frac{1}{4\alpha ^{3}}\ln |\frac{u+\alpha }{u-\alpha }|-\frac{2u}{%
4\alpha ^{2}(u^{2}-\alpha ^{2})}[/tex]
[tex]ln\frac{z}{4Gm}+2\ln \left\vert \sqrt{%
\frac{4Gm}{z}+\alpha ^{2}}+\alpha \right\vert +\frac{z}{%
alpha ^{2}}=st+k[/tex]
2 eme cas :C<0
-2C=[tex]\alpha^{2}[/tex]
[tex]I=\frac{1}{2\alpha ^{4}}\arctan \frac{u}{\alpha }+\frac{u}{(\alpha
^{5}+u^{2}\alpha ^{3})^{2}}[/tex]
[tex][/tex]
j'ai essayé de trouver la solution exact mais j'ai rien trouvée je pense a une solution approchée avec une méthode numérique
maisj'ai trouvé une difficulté d'exprimer z en fonction de t
pouvez vous me donner une idée
Dernière modification par pfe-fst (25-05-2016 14:15:38)
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