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loubna.math

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Petite question sur l'analyse complexe

Bonjour,

je dois intégrer [tex]f(z)=\frac{\sqrt{z+a i}}{z^2+b^2}[/tex] sur le chemin [tex]\Gamma[/tex] suivant

je sais que f a deux pôles [tex]\mp i b[/tex], j'essaye d'appliquer le théorème de résidu, j’obtiens donc:

\begin{align}\
\oint_C f(z)\,dz&=\oint_C \frac{\sqrt{z+ia}}{z^2+b^2}\,dz\\\\ &=2\pi i (\,\text{Res}\left(\frac{\sqrt{z+ia}}{z^2+b^2},z=ib\right) Ind_{C}(ib)+\text{Res}\left( \frac{\sqrt{z+ia}}{z^2+b^2} ,z=-ib \right) Ind_{C}(-ib)) \end{align}

où [tex]C=\Gamma\cup [-R,R][/tex].

Comment terminer les calcules s'il vous plait

Ostap Bender

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Re : Petite question sur l'analyse complexe

Bonjour Loubna.

Avant de terminer les calculs, il serait bon de terminer l'énoncé !
Par exemple en expliquant qui sont [tex]a,b,R[/tex] et ce qu'est la racine carrée.

Ostap Bender

loubna.math

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Re : Petite question sur l'analyse complexe

J'ai juste que a>0, b>0 c'est tout

Fred

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Re : Petite question sur l'analyse complexe

On termine en calculant l'indice et les résidus correspondant!
* pour l'indice, c'est très simple si tu as compris la notion. Tu places les points ib et -ib, et tu étudies le "nombre de tours" que fait C autour de chacun des deux points (tu vas devoir supposer quelque chose sur R et b pour pouvoir conclure...)
* pour le résidu, tu as sûrement vu des méthodes dans ton cours, je ne voudrais pas interférer avec ce que ton prof t'a expliqué.

Pas ailleurs, Ostap a raison. La notation "racine carrée" avec des nombres complexes est ambigue. Il faut préciser de quelle racine carrée il s'agit. Ce n'est pas écrit quelque part dans ton énoncé??

F.

loubna.math

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Re : Petite question sur l'analyse complexe

En fait je ne suit pas de cours d'analyse complexe cette année moi j'ai un peu oublié comment on doit faire, je fais ca pour aider un ami, et c'est tout ce qu'il y a dans l'énoncé qu'il ma donné.

Comme on intègre sur la partie supérieur je pense qu'il est inutile de calculer le reste en [tex]-i b [/tex], non ?

Fred

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Re : Petite question sur l'analyse complexe

Oui, en -ib, le résidu est nul.
Si tu as un pôle simple en [tex]a[/tex] à une fonction du type [tex]P/Q[/tex], le résidu est donné par la formule [tex]P(a)/Q'(a)[/tex].

Par ailleurs, même si tu ne suis pas le cours cette année, rien ne t'empêche de consulter le cours que tu as eu une autre année!

loubna.math

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Re : Petite question sur l'analyse complexe

Je pense que je trouve \begin{align}
\oint_C f(z)\,dz
&=2\pi i \frac{\sqrt{ia+ib}}{i2b}
\end{align}

Vous pouvez m'aider sur comment utiliser ceci pour trouver la limite [tex]\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\sqrt{x+\sqrt{x^2+a^2}}}{x^2+b^2}\mathop{\mathrm{d}x}[/tex]

Fred

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Re : Petite question sur l'analyse complexe

L'intégrale entre -R et R devrait correspondre à l'intégrale que tu dois calculer.
Il faut faire tendre R vers l'infini et démontrer que l'intégrale sur le demi-cercle tend vers 0.

F.

loubna.math

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Re : Petite question sur l'analyse complexe

non je ne trouve pas la même chose, je n'arrive pas  l’intégrale sur [tex]\Gamma[/tex] c'est l'intégrale sur [tex][-R,R][/tex] avec la partie réel de [tex]z[/tex] et sur [tex][0,\pi][/tex] avec la partie imaginaire de [tex]z[/tex] ?

mais pour tendre vers0 lorsque R tend vers [tex]\infty[/tex], l'intégrale sur [0,\pi] doit avoir R dedans , mais je ne sais pas comment on écrit

loubna.math

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Re : Petite question sur l'analyse complexe

Je peux écrire que c'est égale à[tex] \int_{-R}^R \frac{\sqrt{x+ia}}{x^2+b^2}dx+\int_0^{\pi} \frac{\sqrt{z+ia}}{z^2+b^2}dz[/tex] par quoi je remplace z dans la 2éme intégrale s'il vous plait

Dernière modification par loubna.math (17-04-2016 09:10:34)