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loubna.math

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Continuité d'une fonction bilinéaire continue

Soit E,F,G trois espaces normés réel et  [tex]f:E\times F \rightarrow G[/tex] une fonction bilinéaire 

Comment montrer que

[tex]f[/tex] est continue si et seulement si  [tex]\exists M>0, \|B(x_1,x_2)\|\leq M \|x_1\|\times \|x_2\|, \forall x_1, x_2
[/tex]

J'ai supposé que f est continue donc : [tex]\forall\varepsilon, \exists \delta>0, \forall (x,y)\in E\times F, ||(x,y)-(x_1,y_1)||\leq \delta\Rightarrow ||f(x,y)-f(x_1,y_1)||\leq \varepsilon[/tex]

mais comment continuer ?

Merci

Ostap Bender

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Re : Continuité d'une fonction bilinéaire continue

Bonjour Loubna.

Puisque [tex]E\times F[/tex] est un groupe topologique, il suffit de démontrer que [tex]f[/tex] est continue en [tex](0,0)[/tex].

Ostap Bender

loubna.math

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Re : Continuité d'une fonction bilinéaire continue

pourquoi 0 ?

loubna.math

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Re : Continuité d'une fonction bilinéaire continue

Si je suppose que f est continue sur [tex]E\times F[/tex] donc f est continue en 0 , je fixe [tex]\varepsilon=1[/tex] , considérons [tex]\delta_1[/tex] tel que [tex] \frac{\delta_1}{2||x_i||}x_i \in B(0, \delta_1)[/tex] comme f est continue on a ||f(\frac{\delta_1}{2||x_1||}x_1, \frac{\delta_1}{2||x_2||}x_2)||\leq 1, par la linéarité de[tex] f[/tex] on a que [tex]||f(x_1,x_2)||\leq \frac{4}{\delta^2} ||x_1||||x_2||[/tex] 

est ce que c'est juste s'il vous plait ?

l'autre sens je n'ai pas d'idée

Dernière modification par loubna.math (08-04-2016 18:16:36)

Fred

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Re : Continuité d'une fonction bilinéaire continue

Pour l'autre sens, tu peux écrire :
[tex]f(x,y)-f(x_1,y_1)=f(x,y)-f(x_1,y)+f(x_1,y)-f(x_1,y_1)=f(x-x_1,y)+f(x_1,y-y_1)[/tex]

loubna.math

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Re : Continuité d'une fonction bilinéaire continue

Le premier sens est juste a 100% , parce que j'ai un doute du passage [tex]\displaystyle  \frac{\delta_1}{2||x_i||}x_i \in B(0, \delta_1)[/tex] implique que [tex]||(\frac{\delta_1}{2||x_1||}x_1,\frac{\delta_1}{2||x_2||}x_2)||\leq \delta_1[/tex]

Pour l'autre sens:

[tex]||f(x,y)-f(x_1,y_1)||\leq ||f(x-x_1,y)||+||f(x_1, y-y_1)||\leq M||x-x_1|| ||y|| +M ||x_1|| ||y-y_1||[/tex]

[tex]= M(||x-x_1|| ||y||+||x_1|| ||y-y_1||) [/tex]

comment terminer s'il vous plait

Dernière modification par loubna.math (08-04-2016 21:40:12)

Fred

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Re : Continuité d'une fonction bilinéaire continue

Ca dépend la norme que tu mets, mais en réalité cela n'a pas d'importance tu peux définir [tex]\|(x_1,x_2)\|=\|x_1\|+\|x_2\| [/tex].

Pour l'autre sens, tu notes [tex]K=\max(\|x\|,\|y\|)[/tex] tu fixes [tex]\varepsilon>0[/tex] et tu considères [tex]\delta\in(0,1),\ (x_1,y_1)[/tex] tels que
[tex]\|(x,y)-(x_1,y_1)\|\leq \delta[/tex]. Tu dois alors pouvoir continuer ta majoration et trouver un résultat qui ne dépend plus que de M, K et [tex]\delta[/tex].

F.

loubna.math

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Re : Continuité d'une fonction bilinéaire continue

La norme n'est pas précisé .

comment faire pour ||x-x_1|| et ||y-y_1|| s'il vous plait

Ostap Bender

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Re : Continuité d'une fonction bilinéaire continue

Bonsoir Loubna.

Tu te poses des questions bien compliquées pour ce problème.
Je note abusivement toutes les normes [tex]\Vert\cdot\Vert[/tex] Combien y en a-t-il au fait ?
Si [tex]f[/tex] est bilinéaire continue, alors ses applications partielles - qui sont des applications linéaires - sont continues.
En particulier, pour [tex]x_1[/tex] fixé, [tex]f(x_1,\cdot)[/tex] est linéaire continue :
[tex]\forall (x_1,x_2)\in E\times F, \Vert f(x_1,x_2) \Vert \leq \Vert f(x_1,\cdot)\Vert \Vert x_2 \Vert[/tex]
Maintenant, je prends [tex]\epsilon>0[/tex] et [tex]x_2^0 \in F, \Vert x_2^0 \Vert = 1 \text{ et }  \Vert f(x_1,x_2^0) \Vert +  \epsilon\geq \Vert f(x_1,\cdot)\Vert [/tex]
Ensuite par continuité de [tex]f(\cdot,x_2^0)[/tex], tu as [tex]\forall x_1\in E,  \Vert f(x_1,x_2^0) \Vert \leq \Vert f(\cdot,x_2^0) \Vert \Vert x_1 \Vert [/tex].

Il ne te reste plus qu'à tout mettre ensemble pour avoir un [tex]K[/tex]. Lequel au fait ?

Ostap Bender

loubna.math

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Re : Continuité d'une fonction bilinéaire continue

je n'ai rien compris a ce que vous avez écris mr ostap bender

loubna.math

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Re : Continuité d'une fonction bilinéaire continue

Mr Fred bonsoir, je suis revenu sur l'exercice et je n'arrive pas a terminer, pouvez vous m'aider s'il vous plait

Fred

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Re : Continuité d'une fonction bilinéaire continue

En reprenant mes notations du post #7,
si [tex] \| (x,y)-(x_1,y_1)\|\leq \delta [/tex], alors [tex]\|x-x_1\|\leq \delta,\ \|y-y_1\|\leq \delta[/tex] ce
qui implique en particulier [tex]\|x_1\|\leq \|x\|+\delta\leq M+\delta [/tex]. On a donc
[tex]\|f(x,y)-f(x_1,y_1)\|\leq MK\delta+M(K+\delta)\delta\leq\varepsilon[/tex] pourvu que [tex]\delta[/tex] est assez petit.

loubna.math

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Re : Continuité d'une fonction bilinéaire continue

s'il vous plait comment vous déduisez que [tex]\displaystyle \|x_1\|\leq \|x\|+\delta\leq M+\delta[/tex] et je prend [tex]||(x_1,x_2)||=\max(||x_1||,||x_2||)[/tex] ça marche ?

Merci beaucoup

Fred

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Re : Continuité d'une fonction bilinéaire continue

Par l'inégalité triangulaire, en écrivant [tex]x_1=(x_1-x)+x[/tex].
La norme que tu proposes est bonne, mais n'importe quel norme produit ferait l'affaire (enfin, moi j'ai noté les couples (x,y) ).

F.

loubna.math

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Re : Continuité d'une fonction bilinéaire continue

S' il vous plait comment on fait pour trouver [tex]\delta[/tex] ?

loubna.math

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Re : Continuité d'une fonction bilinéaire continue

Je reprend du début :  je dois montrer que [tex]f[/tex] est continue i.e pour [tex]a=(a_1,a_2)\in E_1\times E_2[/tex], on doit chercher [tex]\delta>0[/tex] tel que [tex]||(x_1,x_2)-(a_1,a_2)||_{\infty}\leq \delta[/tex] implique que [tex]||f(x_1,x_2)-f(a_1,a_2)||\leq \varepsilon[/tex]

[tex]||f(x_1,x_2)-f(a_1,a_2)||=||f(x_1-a_1,x_2)+f(a_1, x_2-a_2)||\leq \\ ||f(x_1-a_1, x_2)||+||f(a_1, x_2-a_2)||\leq \\ M||x_1-a_1||\times||x_2||+M ||a_1||\times ||x_2-a_2|| \leq \\ M\delta(||x_2||+||a_1||) <\varepsilon[/tex]

est ce que je peux dire que [tex]||x_2||\leq ||(x_1,x_2)||=\max ||x_i||[/tex] et même chose pour [tex]||a_2||[/tex] ? sans faire rentrer \delta une autre fois

comme cela il suffit de prendre [tex]\delta\leq \frac{\varepsilon}{M(||x||_{\infty}+||a||_{\infty})}[/tex]
[tex]
x=(x_1,x_2), a=(a_1,a_2)[/tex]

Qu'en dites vous ?

merci

Dernière modification par loubna.math (02-05-2016 20:43:08)

Fred

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Re : Continuité d'une fonction bilinéaire continue

Re-

  Tu ne peux pas prendre [tex]\delta[/tex] qui dépend de [tex]\|x\|_\infty[/tex] car [tex]\delta[/tex] est choisi avant [tex]x[/tex] (relis bien l'ordre des quantificateurs dans la définition de la continuité). [tex]\delta[/tex] ne peut dépendre que de [tex]f,\epsilon,a[/tex].

F.

loubna.math

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Re : Continuité d'une fonction bilinéaire continue

Ok merci beaucoup de m'avoir répondu vous avez raison , mais alors j'obtiens : [tex]M\delta(||x_2||+||a_2||)\leq M\delta (||x_2-a_2||+||a_2||+||a_1||)\leq M\delta (\delta +||a_2||+||a_1||)\leq M\delta (\delta +2||a||_{\infty})<\varepsilon[/tex]

Mais comment choisir [tex]\delta[/tex] il faut résoudre [tex]M\delta^2+2M\delta||a||_{\infty}-\varepsilon<0[/tex] ?

Merci

Dernière modification par loubna.math (02-05-2016 20:48:56)

Fred

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Re : Continuité d'une fonction bilinéaire continue

Il te manque un [tex]\delta[/tex] en facteur de [tex]\|a\|_\infty[/tex] dans ta toute dernière inégalité.

Tu n'es pas obligé de donner une valeur explicité pour [tex]\delta[/tex]. Il suffit de dire que [tex]M\delta(\delta+2\|a\|_\infty)[/tex] tend vers 0 lorsque [tex]\delta[/tex] tend vers 0. On peut donc trouver un [tex]\delta>0[/tex] de sorte que ceci soit inférieur à [tex]\epsilon[/tex].

F.

loubna.math

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Re : Continuité d'une fonction bilinéaire continue

d'accord merci et si je veux trouver un [tex]\delta[/tex] , je calcule le [tex]\Delta[/tex] de [tex]\displaystyle M\delta^2+2M\delta||a||_{\infty}-\varepsilon[/tex] je trouve [tex]\Delta =(2||a||M)^2+4 \varepsilon M[/tex] je termine comment  s'il vous plait

Fred

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Re : Continuité d'une fonction bilinéaire continue

Tu cherches une racine positive de l'équation avec les formules usuelles, mais je vais te renverser la question : à quoi faire cela???

loubna.math

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Re : Continuité d'une fonction bilinéaire continue

par curiosité c'est tout , [tex]\delta=\frac{-2||a||M+\sqrt{\Delta}}{2M}[/tex] ça marche l'autre racine est négative