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convergence

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Connexe mais pas connexe par arcs

Bonsoir, s'il vous plait j'ai besoins de votre aide pour comprendre cette démonstration.

On a deux ensemble [tex]A=\{(x,\sin(\frac1x)),x\in]0,1]\}[/tex] et [tex]B= (\{0\}\times [-1,1])[/tex]

On veut montrer que [tex]\overline{A}[/tex] qui est connexe ([tex]\overline{A}=A\cup B[/tex] et [tex]A[/tex] est connexe) n'est pas connexe par arcs

Par l'absurde, on suppose que [tex]\overline{A}[/tex] est connexe par arcs, donc il existe un chemin [tex]\varphi:[0,1]\rightarrow \overline{A}[/tex]

il pose: [tex]\varphi(0)=B=(1\sin(1))[/tex] et [tex]\varphi(1)=M_0\in \{0\}\times [-1,1][/tex], [tex]\varphi(t)=(\varphi_1(t),\varphi_2(t))[/tex]

il considère l'ensemble [tex]J=\{t\in[0,1], \varphi_1(0)>0\}[/tex] il est dit que [tex]0\in J[/tex] et soit [tex]t_0=\sup J[/tex]

Après il est dit : posons [tex]\varphi(t_0)=(0,y_0)[/tex], soit [tex]y\in [-1,1]\setminus\{y_0\}[/tex] et [tex]x_n=\frac{1}{2\pi n+arcsin(y)}[/tex], [tex]0<t_n<t_0[/tex] tel que [tex]\varphi_1(t_n)=x_n>0[/tex], on a [tex]x_n\rightarrow 0\Rightarrow t_n\rightarrow t_0[/tex]

Alors [tex]\varphi(t_n)=(\varphi_1(t_n),\varphi_2(t_n))\rightarrow (0,y)\neq (0,y_0)[/tex] alors que [tex]\varphi(t_n)\rightarrow \varphi(t_0)=(0,y_0)[/tex]

s'il vous plait aidez moi a comprendre cette preuve merci

Dernière modification par convergence (21-03-2016 14:54:27)

Fred

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Re : Connexe mais pas connexe par arcs

D'abord je suis sûr que le début n'est pas rédigé de cette façon là. Il doit être dit  : supposons que [tex]\bar A[/tex] est connexe par arcs. On considère les points ... et ... Il existe un chemin continu qui joint ces deux points.

C'est très différent de ta rédaction et de ta phrase "on pose...."

Fred

convergence

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Re : Connexe mais pas connexe par arcs

Bonjour, y a pas eu de rédaction, il a juste donnée l'idée en cours, et moi je n'ai rien compris, donc je cherche a rédiger et pour cela je doit comprendre ce qu'il a fait, c'est pour cela que j'ai besoin de votre aide .

Fred

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Re : Connexe mais pas connexe par arcs

Donc je t'aide. Est-ce que tu comprends la différence avec ce que tu as écrit?

Je commence par écrire que [tex]\bar A[/tex] est connexe par arcs, je choisis deux points particuliers de [tex]\bar A[/tex],
à savoir le point [tex](1,\sin 1)[/tex] et le point [tex](0,0)[/tex] et j'écris qu'il y a un chemin continu entre ces deux points tracé dans [tex]\bar A[/tex].

F.

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Re : Connexe mais pas connexe par arcs

Oui, Je comprend

c'est a dire qu'il existe une fonction continue [tex]\varphi: [0,1]\rightarrow \overline{A}, t\mapsto \varphi(t)=(\varphi_1(t),\varphi_2(t))[/tex] tel que [tex]\varphi(1)=M_0=(0,0)[/tex] et [tex]\varphi(0)=B=(1,\sin(1))[/tex]

Après on considère l'ensemble J, mais comment on avoir l'idée ?

Merci

Dernière modification par convergence (20-03-2016 18:10:54)

Fred

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Re : Connexe mais pas connexe par arcs

Est-ce que tu as dessiné l'ensemble [tex]\bar A[/tex]?
Là où il y a un problème, c'est proche de l'axe des ordonnées, quand on passe d'un point d'abscisse strictement positive à un point d'abscisse nulle.
Ton prof considère [tex]J[/tex] parce que la borne supérieure de [tex]J[/tex], c'est le temps où on atteint l'axe des ordonnées.

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Re : Connexe mais pas connexe par arcs

moi ce que j'ai compris c'est qu'il une sorte de fossé entre l'axe des y et le graphe

la dernière phrase : la borne supérieure de J , c'est le temps où on atteint l'axe des ordonnées.je n'ai pas tres bien compris , comment on voit ça ?

Aussi s'il vous plait comment est définit[tex] \varphi_1[/tex] et [tex]\varphi_2[/tex]

Merci

Dernière modification par convergence (20-03-2016 18:11:53)

Fred

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Re : Connexe mais pas connexe par arcs

[tex]\varphi_1[/tex] et [tex]\varphi_2[/tex] ne sont pas définis "explicitement". L'application est définie de façon abstraire.

A partir de la borne supérieure de [tex]J[/tex], on a [tex]\varphi_1(t)=0[/tex], c'est bien qu'on est sur l'axe des ordonnées non???

F.

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Re : Connexe mais pas connexe par arcs

Donc on sait juste que [tex]\varphi_1[/tex] et[tex] \varphi_2[/tex] sont des fonctions continues, mais je ne comprend pas ce que veux dire [tex]J=\{t\in[0,1], \varphi_1(0)>0\}[/tex] que veux dire [tex]\varphi_1(0)>0[/tex]

et comment continuer s'il vous plait ?

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Re : Connexe mais pas connexe par arcs

Je pense que j'ai mal écrit [tex]J=\{t\in[0,1],\varphi_1(t)>0\}[/tex], mais je ne comprend toujours pas cet ensemble et encors le construction des suites

Fred

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Re : Connexe mais pas connexe par arcs

[tex]\varphi[/tex] c'est une courbe du plan (tracé dans [tex]\bar A[/tex]), [tex]\varphi_1(t)[/tex], c'est l'abscisse du point [tex]\varphi(t)[/tex].

F.

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Re : Connexe mais pas connexe par arcs

Ok, pouvez vous s'il vous plait m'expliquer pourquoi [tex]\varphi_1(\sup J)=0[/tex] ?

pourquoi c'est sup J qui dit que nous sommes arrivé sur l'axe des y ?

Dernière modification par convergence (20-03-2016 22:52:38)

Fred

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Re : Connexe mais pas connexe par arcs

Ok, pouvez vous s'il vous plait m'expliquer pourquoi [tex]\varphi_1(\sup J)=0[/tex] ?

Par continuité de [tex]\varphi_1[/tex] puis si [tex]t>\sup J[/tex], [tex]\varphi_1(t)=0[/tex]

pourquoi c'est sup J qui dit que nous sommes arrivé sur l'axe des y ?

Relis mon post numéro 8.

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Re : Connexe mais pas connexe par arcs

Bonjour,  je comprend que si [tex] t>\sup J[/tex] alors [tex]\varphi_1(t)=0[/tex], mais pourquoi  [tex]\sup J\notin J[/tex] ?
merci

Fred

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Re : Connexe mais pas connexe par arcs

La réponse est déjà dans mon post 13. C'est la continuité de [tex]\varphi_1[/tex] (fais tendre [tex]t[/tex] vers [tex]\sup J[/tex] par valeurs supérieures).

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Re : Connexe mais pas connexe par arcs

Je suis désolé je fais peut être un blocage, depuis tout à l'heure je regarde pour [tex]t> sup J[/tex], on a [tex]\varphi_1(t)=0[/tex] c'est ok, mais pour [tex]t_0=\sup J, \varphi_1(t_0)=0[/tex] , non pour moi [tex]\sup J[/tex] peut appartenir à [tex]J[/tex] et donc dans ce cas [tex]\varphi_1(t_0)>0[/tex]

"fais tendre t vers supJ par valeurs supérieures" , je comprend pas ?

Fred

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Re : Connexe mais pas connexe par arcs

Tu ne connais pas les notions de limite à droite et à gauche. Tendre par valeurs supérieures, ça veut dire en étant toujours plus grand. Et utilise la continuité de [tex]\varphi_1[/tex]!

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Re : Connexe mais pas connexe par arcs

Je connais la limite supérieur , mais [tex]t>\sup J[/tex] donne que [tex]\varphi_1(t)=0[/tex], mais j'ai toujours un problème avec [tex]\varphi_1(\sup J)=0[/tex]

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Re : Connexe mais pas connexe par arcs

on peux considérer [tex]t_n=t_0+\frac1n[/tex]  on [tex]t_n\rightarrow t_0[/tex] mais [tex]\varphi_1(t_n)=0[/tex] donc [tex]\varphi_1(t_0)=0[/tex]

Dernière modification par convergence (21-03-2016 11:11:00)

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Re : Connexe mais pas connexe par arcs

Pouvez vous s'il vous plait m'expliquer la partie sur les suite [tex]x_n[/tex] et [tex]t_n[/tex] merci

Fred

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Re : Connexe mais pas connexe par arcs

Que ne comprends-tu pas???

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Re : Connexe mais pas connexe par arcs

posons [tex]\varphi(t_0)=(0,y_0)[/tex], soit [tex]y\in [-1,1]\setminus\{y_0\}[/tex] et [tex]x_n=\frac{1}{2\pi n+arcsin(y)}[/tex], [tex]0<t_n<t_0[/tex] tel que [tex]\varphi_1(t_n)=x_n>0[/tex], on a [tex]x_n\rightarrow 0\Rightarrow t_n\rightarrow t_0[/tex]

Alors [tex]\varphi(t_n)=(\varphi_1(t_n),\varphi_2(t_n))\rightarrow (0,y)\neq (0,y_0)[/tex] alors que [tex]\varphi(t_n)\rightarrow \varphi(t_0)=(0,y_0)[/tex]

pourquoi  [tex]x_n\rightarrow 0\Rightarrow t_n\rightarrow t_0[/tex]
merci

Fred

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Re : Connexe mais pas connexe par arcs

Chaque [tex]t_n[/tex] est élément de [tex]J[/tex]. Si la suite [tex](t_n)[/tex] ne tend pas vers [tex]t_0[/tex], quitte à considérer une suite extraite, il existe [tex]\delta>0[/tex] tel que pour tout entier [tex]n[/tex], [tex]t_n\leq t_0-\delta[/tex].
Mais alors, [tex]\varphi_1(t_n)\in \varphi_1([ 0,t_0-\delta])[/tex]. Ce dernier ensemble est un segment (car [tex]\varphi_1[/tex] est continue),
et il ne contient pas 0 par définition de [tex]t_0[/tex]. Donc [tex] \varphi_1([ 0,t_0-\delta])=[\eta,A][/tex] avec [tex]\eta>0[/tex].
Donc [tex]\varphi_1(t_n)\geq\eta[/tex] ne peut pas tendre vers 0.

F.

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Re : Connexe mais pas connexe par arcs

ok merci beaucoup j'ai rédiger la preuve (y)