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#1 20-03-2016 16:42:40
- JustLetGoE
- Membre
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- Messages : 4
Différentiabilité par rapport à une équation
Bonjour,
J'aurais besoin d'aide sur l'exercice suivant :
Soif f:[tex]\mathbb{R}^{2}\rightarrow \mathbb{R}[/tex] une fonction différentiable sur [tex]\mathbb{R}^{2}[/tex] qui vérifie : [tex]x\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)+y\frac{\partial f}{\partial y}(x,y) = 0, \forall (x,y) \in \mathbb{R}^{2}[/tex].
Soient (a,b) [tex]\in \mathbb{R}^{2}[/tex] et F: [tex]\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}[/tex] définie par [tex]F(t)=f(ta,tb)[/tex].
1- Montrer que F est dérivable sur [tex] \mathbb{R}[/tex] et calculer F'(t). En déduire [tex]f(ta,tb)=f(a,b), \forall t>0[/tex].
2- Montrer que f est constante.
Voici ma réponse:
1- La fonction t[tex]\rightarrow[/tex](ta,tb) est de classe [tex]C^{1}[/tex] car polynomiale donc F est de classe [tex]C^{1}[/tex].
Pour calculer F'(t), on utiliser la formule de dérivation d'une fonction composée :
Je pose u(t)=ta et v(t)=tb.
[tex]F'(t)=u'(t)\frac{\partial f}{\partial x}(u(t),v(t))+v'(t)\frac{\partial f}{\partial x}(u(t),v(t))=a\frac{\partial f}{\partial x}(ta,tb)+b\frac{\partial f}{\partial x}(ta,tb)[/tex].
Et c'est à partir de là que je bloque sur la deuxième partie de la question 1 car comme on n'a pas l'expression de f, je ne sais pas comment faire...
Pouvez vous me dire si ce que j'ai fait et correct et aussi une piste sur déduire que f(ta,tb)=f(a,b).
Merci d'avance !
Hors ligne
#2 20-03-2016 17:45:57
- Fred
- Administrateur
- Inscription : 26-09-2005
- Messages : 7 352
Re : Différentiabilité par rapport à une équation
Salut,
Tu te trompes dans le calcul de [tex]F'(t)[/tex]. La deuxième dérivée partielle est par rapport à la seconde variable!
La piste pour démontrer que [tex]f(ta,tb)=f(a,b)[/tex] pour tout t, c'est de dire que tu veux démontrer qu'une fonction est constante. Un bon moyen est de démontrer que sa dérivée est toujours nulle.
F.
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#3 20-03-2016 18:02:58
- JustLetGoE
- Membre
- Inscription : 20-03-2016
- Messages : 4
Re : Différentiabilité par rapport à une équation
Salut,
Tu te trompes dans le calcul de [tex]F'(t)[/tex]. La deuxième dérivée partielle est par rapport à la seconde variable!
La piste pour démontrer que [tex]f(ta,tb)=f(a,b)[/tex] pour tout t, c'est de dire que tu veux démontrer qu'une fonction est constante. Un bon moyen est de démontrer que sa dérivée est toujours nulle.
F.
Le truc c'est qu'à la question d'après, on me demande de prouver que f est constante... f(ta,tb)=f(a,b) vient avant..
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