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tintin

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Fourier inverse

Bonjour,
soit la fonction [tex]f(t)= e^{-\alpha t} H(t), \alpha \in \mathbb{N}[/tex]
la question est de calculer sa transformée de Fourier inverse.
Je sais calculer sa transformée de Fourier. On obtient:
[tex]
\widehat{f}(t)= \displaystyle\int_0^{+\infty} e^{-\alpha t} e^{-i t . \xi} dt = \dfrac{1}{\alpha + i \xi}.
[/tex]

Pouvez vous me montrer comment on calcule a transformée de Fourier inverse? Merci beaucoup.

Fred

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Re : Fourier inverse

Bonjour,

  Ta fonction n'est pas continue, donc...

F.

tintin

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Re : Fourier inverse

Pardon, je ne comprend pas. Qu'est ce qu'il y a puisqu'elle n'est pas continue?

Fred

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Re : Fourier inverse

Tu sais que la transformée de Fourier d'une fonction intégrable vérifie certaines propriétés.

tintin

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Re : Fourier inverse

on sait que si f est L^1, alors elle est continue. Je ne vois pas de méthode pour calculer l'inverse. Pouvez vous m'expliquer comment on fait sur cet exemple? Please. Merci beaucoup.

Fred

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Re : Fourier inverse

Ta fonction n'est pas continue, et tu me dis que la transformée de Fourier d'une fonction intégrable est continue.
Ta fonction n'est donc pas la transformée de Fourier d'une fonction intégrable. Tu ne peux pas calculer sa transformée de Fourier inverse.

tintin

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Re : Fourier inverse

une seconde. On sait que si [tex]F(f)[/tex] est[tex] L^1[/tex], alors f est continue.
et donc par contraposé, si f n'est pas continue, sa implique que sa transformée de Fourier n'est pas intégrable.

Mas d'après ce que vous dite, si f est intégrable alors sa transforée de Fourier est continue. Tout est embrouillé. Please pourvez vous m'écrire de manière claire, ces relatrions entre continuité et intégrabilité des fonctions et de leurs transformées de Fourier? Je souhaite comprendre please. Merci beaucoup.

Hinane

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Re : Fourier inverse

[tex]\mathcal{F^{-1}}f(x)=\frac 1{2\pi}\int_0^{+\infty}e^{ix\xi}f(\xi)d\xi=\frac 1{2\pi}\frac 1{a-ix}[/tex]

tintin

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Re : Fourier inverse

Mais Fred dit qu'il n'admet pas d'inverse et je comprend pas pourquoi

Hinane

Invité

Re : Fourier inverse

Fred a dit que f n'est pas continu et donc son inverse ne peut pas etre dans [tex]L^1[/tex]
ici f est  dans [tex]L^1[/tex] , donc tu peux calculer son inverse et puisque f est aussi dans [tex]L^2[/tex], son inverse sera dans [tex]L^2[/tex]

Fred

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Re : Fourier inverse

Ce que l'on sait, c'est que si f est intégrable, alors sa transformée de Fourier est continue....
Donc si [tex]f=\hat g[/tex] avec [tex]g[/tex] intégrable, [tex]f[/tex] serait continue, ce qui n'est pas le cas...

Après, on peut se placer dans [tex]L^2[/tex] comme le fait Hinane, mais c'est plus compliqué...
Notamment, on ne peut plus calculer la transformée de Fourier par une simple intégrale.

F.

Hinane

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Re : Fourier inverse

Fred, f est dans [tex]L^1(\R)[/tex], il n' y a aucun souci

Fred

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Re : Fourier inverse

f, je suis d'accord. Mais pas g, et c'est la transformée de g que l'on ne peut pas calculer à l'aide d'une intégrale.
Pour moi, c'est plutôt la transformée de Fourier-Plancherel que la transformée de Fourier.

Hinane

Invité

Re : Fourier inverse

Pour ne pas brouiller l’esprit de Tintin, si f est dans [tex]L^1(R)[/tex], par définition [tex] \displaystyle \mathcal{F^{-1}}f(x)=\frac 1{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{ix\xi}f(\xi)d\xi [/tex]