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convergence

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Suite de fermés décroissante

Bonjour,

j'ai un espace métrique  et [tex](F_n)[/tex]une suite décroissante de fermés dans E et soit  [tex](x_n)[/tex] une suite convergente tel que [tex]x_n\in F_n[/tex]

la question est montrer que [tex]\lim_{n\rightarrow +\infty} x_n\in \cap_{n\geq0} F_n[/tex] et trouver un exemple ou [tex]\cap_{n\geq0}F_n=\emptyset[/tex]

on a pour tout [tex]n>m, F_n\subset F_m[/tex] donc [tex]x_n\in F_m[/tex]

mais je ne sais pas comment arriver a l'intersection.

et pour l'exemple aussi , on peut dire que l'intersection est vide si il existe [tex]n_0[/tex] tel que[tex] F_{n_0}=\emptyset[/tex] ?

merci

Fred

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Re : Suite de fermés décroissante

Bonjour,

  Note x la limite de la suite [tex](x_n)[/tex].
Ce qu'on te demande, c'est de démontrer que x appartient à [tex]F_m[/tex] pour tout entier m.
Fixe donc m. Comment peux-tu prouver que [tex]x\in F_m[/tex] sachant que ce dernier ensemble est fermé?

Concernant le contre-exemple, j'imagine qu'on souhaite en plus qu'aucun [tex]F_n[/tex] ne soit vide.
On peut trouver un tel-exemple dans [tex]\mathbb R[/tex], en prenant pour [tex]F_n[/tex] des
intervalles du type [tex] [a_n,+\infty[ [/tex]. Je te laisse choisir la suite [tex](a_n)[/tex]...

F.

convergence

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Re : Suite de fermés décroissante

Comme [tex]x_n \in F_m[/tex] et [tex]F_m[/tex] est fermé alors [tex]x=\lim x_n \in F_m[/tex], mais je veux trouver la limite dans [tex]\cap_{n} F_n[/tex] !

Fred

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Re : Suite de fermés décroissante

Est-ce que tu peux réfléchir deux minutes avant de poster (il y a 3 minutes d'écart entre ton post et le mien)!!!
Si tu lis les 4 premières lignes de ce que j'ai écrit et que tu réfléchis, je suis sûr que tu trouveras.

convergence

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Re : Suite de fermés décroissante

ok je crois que j'ai compris

pour tout [tex]m<n[/tex] on a [tex]x_n \in F_m[/tex] comme F_m est fermé [tex]x\in F_m[/tex] pour tout m donc [tex]x \in \cap F_m[/tex] c'est ça ?

Fred

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Re : Suite de fermés décroissante

Oui, c'est ça.