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#1 06-03-2016 18:40:20
- convergence
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Espace métrique complet
Bonsoir,
S'il vous plait comment savoir si cet espace est complet ou pas ?
Soit [tex]E=\mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})[/tex] et soit [tex]w\in E[/tex] ne s'annule pas sur [tex][a,b][/tex]. posons [tex]d_w(f,g)=\sup_{t\in [a,b]} |w(t)(f(t)-g(t))|[/tex]
est ce que [tex](E,d_w)[/tex] est complet.
Un espace est complet si toute suite de Cauchy converge, soit [tex](f_n) \subset E[/tex] une suite de Cauchy
alors [tex]\forall \varepsilon>0, \exists n_n\in \mathbb{N}, \forall p,q\in\mathbb{N}, p>q\geq n_0\Rightarrow d_w(f_p,f_q)<\varepsilon[/tex]
comment continuer?
Merci
Dernière modification par convergence (06-03-2016 18:41:01)
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#2 06-03-2016 19:51:59
- Ostap Bender
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Re : Espace métrique complet
Continuer ? Il faudrait avoir commencé pour cela.
Que peux-tu dire dans le cas où [tex]w[/tex] est la fonction constante égale à [tex]1[/tex] ?
Ostap Bender
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#3 06-03-2016 20:11:26
- convergence
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Re : Espace métrique complet
Je ne sais pas comment montrer qu'une suite de Cauchy et convergente
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#5 06-03-2016 21:11:30
- convergence
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Re : Espace métrique complet
comme elles de Cauchy alors elle est borné !
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#7 06-03-2016 21:29:10
- convergence
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Re : Espace métrique complet
On applique Bolzano-Weirstrass qui dit qu'elle possède une sous suite qui converge ?
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#9 06-03-2016 22:00:35
- convergence
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Re : Espace métrique complet
je ne sais pas
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#11 06-03-2016 22:13:48
- convergence
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Re : Espace métrique complet
Je connais juste toute suite de Cauchy est bornée, et de toute suite réel bornée on peux extraire une sous suite convergente
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#13 06-03-2016 22:21:21
- convergence
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Re : Espace métrique complet
le critère de Cauchy : https://fr.wikipedia.org/wiki/Suite_de_Cauchy
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#15 06-03-2016 22:36:45
- convergence
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Re : Espace métrique complet
elle est convergente !mais ça c'est pour la distance standard |.| uniquement
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#16 06-03-2016 22:46:07
- Fred
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Re : Espace métrique complet
Oui, mais comme je l'ai dit au post #4, la première chose à faire est de fabriquer la limite.
Pour chaque [tex]t\in[a,b][/tex], tu as donc démontré que la suite [tex](f_n(t))[/tex] converge vers un réel [tex]f(t)[/tex].
Il reste à montrer ensuite deux choses : que la fonction [tex]f[/tex] est continue, et que la suite [tex](f_n)[/tex] converge vers [tex]f[/tex]
au sens de la norme de [tex]E[/tex].
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#17 07-03-2016 10:01:33
- convergence
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Re : Espace métrique complet
Je prend une suite [tex](t_n)[/tex] de [tex][a,b][/tex] qui converge vers [tex]t\in [a,b][/tex] et je montre que [tex]f(t_n)[/tex] converge vers [tex]f(t)[/tex] ?
mais je n'ai pas d'information sur f?
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#18 07-03-2016 10:48:47
- Fred
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Re : Espace métrique complet
Ce n'est pas trop cela, non. Je n'ai pas envie de réécrire ce que j'ai déjà écrit ailleurs. Dans cette feuille d'exercices, il y a plein d'exercices similaires au tien. Je pense même que le tien correspond à une partie de l'exercice 10...
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#19 07-03-2016 11:04:46
- convergence
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Re : Espace métrique complet
merci mais d_w c'est une distance pas une norme
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#21 07-03-2016 20:07:08
- convergence
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Re : Espace métrique complet
J'ai montré que f est continu, mais pouvez vous m'aider pour montrer que : [tex]\forall\varepsilon>0, \exists n_0\in \mathbb{N}, \forall n\in \mathbb{N}, n\geq n_0\Rightarrow \sup_{t\in[a,b]}|f_n(t)-f(t)|<\varepsilon[/tex]
merci
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#22 07-03-2016 20:56:40
- Fred
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Re : Espace métrique complet
Puisque [tex](f_n)[/tex] est de Cauchy, pour tout [tex]\epsilon>0[/tex],
il existe [tex]N[/tex] tel que si [tex]n,p\geq N[/tex], alors pour tout [tex]t\in [a,b][/tex], on a
[tex] |f_n(t)-f_p(t)|\leq\varepsilon.[/tex]
On fait tendre [tex]p\to+\infty[/tex] en laissant [tex]n[/tex] échanger. On en déduit que, pour tout [tex]t\in [a,b][/tex], on a
[tex] |f_n(t)-f(t)|\leq\varepsilon[/tex].
F.
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#23 07-03-2016 21:05:23
- convergence
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Re : Espace métrique complet
On peut dire : soit [tex]\varepsilon >0[/tex] et [tex]t\in [a,b][/tex] et [tex]p\geq n_0[/tex] on a
[tex]|f_n(t)-f(t)|\leq |f_n(t)-f_p(t)|+|f_p(t)-f(t)|\leq \varepsilon/2+\varepsilon/2 =\varepsilon[/tex] le premier car $(f_n)$ est de Cauchy la second c'est parceque [tex](f_n(t))[/tex] converge vers [tex]f(t)[/tex]
comme c'est vrai pour tout[tex] t\in [a,b][/tex] on peut passer au sup c'est bon ?
Dernière modification par convergence (07-03-2016 21:06:53)
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#24 07-03-2016 21:15:44
- convergence
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Re : Espace métrique complet
Ce que j'ai dit est juste s'il vous plait ?
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