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#1 05-03-2016 15:57:11
- espresso
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Série entière
Voici l'énoncé :
Pour tout [tex]n \in \mathbb{N}[/tex], on considère [tex]a_n=\dfrac{n+5}{(n+1)(n+2)}[/tex]
1) Montrer que la série entière [tex]\sum_{n\ge 0} a_nx^n[/tex] a pour rayon de convergence [tex]1[/tex]. Pas de problème.
2) Montrer que [tex]\forall x \in ]0;1[, \sum_{n\ge 0} a_nx^n=\dfrac{4\ln(1+x)}{x}-\dfrac{3}{x^2}\big(\ln(1+x)-x\big)[/tex]
Voilà comment j'ai procédé :
On a : [tex]\dfrac{n+5}{(n+2)(n+3)}=\dfrac{4}{n+1}-\dfrac{3}{n+2}[/tex], et puisque que la série entière converge pour [tex]x \in ]0;1[[/tex], on peut séparer la somme, et avec quelques changements d'indices, il vient :
[tex]\sum_{n\ge 0}a_n x^n=\dfrac{4}{x}\sum_{n\ge 1} \dfrac{x^n}{n}-\dfrac{3}{x^2}\big(\sum_{n\ge 1}\dfrac{x^n}{n}-x\big)[/tex]
Ainsi, [tex]\sum_{n\ge 0}a_n x^n=-\dfrac{4\ln(1-x)}{x}+\dfrac{3}{x^2}\big(\ln(1-x)+x\big)[/tex]
Comment arriver au résultat voulu ? En particulier, faut-il transformer les sommes pour faire apparaître du [tex](-1)^{n-1}[/tex], et par conséquent du [tex]\ln(1+x)[/tex] ?
Merci !
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#2 05-03-2016 16:30:59
- Ostap Bender
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Re : Série entière
Bonjour Espresso.
En mathématiques, on a déjà un mal de chien à démontrer les résultats justes.
Quelques pistes :
1/ Es-tu sûr de tes calculs ?
2/ Est-ce que ton résultat et celui de l'énoncé coïncident. (pour [tex]x=1/2[/tex] ou geogebra) ?
3/ Peux-tu calculer un développement limité à l'odre un ou deux en zéro de ces deux fonctions ?
Conclusion ?
Ostap Bender
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#4 05-03-2016 16:56:21
- Ostap Bender
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Re : Série entière
Conclusion ?
Ostap Bender
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#6 05-03-2016 17:20:34
- Ostap Bender
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Re : Série entière
Entièrement d'accord.
Ostap Bender.
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