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devil

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inégalité norme H^1

Bonjour,
soit [tex]f \in L^2(\mathbb{R}^n)[/tex], et soit l'équation [tex]\Delta u - u =\dfrac{\partial f}{\partial x_i}[/tex] qui admet une solution unique [tex]u \in H^1(\mathbb{R}^n)[/tex].
La question est de s'assurer qu'il existe une constante [tex]C \geq 0[/tex] telle que [tex]||u||_{H^1} \leq C||f||_{L^2}[/tex].
Voici ce que j'ai essayé: pour tout [tex]v \in H^1(\mathbb{R}^n)[/tex], la formulation faible de l'équation est:

[tex]\displaystyle\int_{\Omega} \nabla u \cdot \nabla v dx - \displaystyle\int_{\Omega} u v dx = - \displaystyle\int_{\Omega} f \dfrac{\partial v}{\partial x_i} dx[/tex]

En posant [tex]v=u[/tex], on a:

[tex]\displaystyle\int_{\Omega} \nabla u \cdot \nabla u dx - \displaystyle\int_{\Omega} u u dx = - \displaystyle\int_{\Omega} f \dfrac{\partial u}{\partial x_i} dx[/tex]

Le problème est que [tex]\displaystyle\int_{\Omega} \nabla u \cdot \nabla u dx - \displaystyle\int_{\Omega} u u dx[/tex] ne représente pas [tex]||u||_{H^1}[/tex] à cause du signe [tex]-[/tex].  Que faire?
Merci par avance.

Dernière modification par devil (02-03-2016 21:51:02)

devil

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Re : inégalité norme H^1

La formulation variationnelle est
[tex]
\int_{\mathbb{R^n}} |\nabla u|^2 dx + \int_{\mathbb{R^n}} u^2 dx = \int_{\mathbb{R^n}} f \dfrac{\partial u}{\partial x_i} dx
[/tex]
On sait que
[tex]
||u||^2_{H^1}=||\nabla u||^2_{L^2}+||u||^2_{L^2}[/tex]
et par l'inégalité de Cauchy-Schwartz, on a
[tex]
\displaystyle\int f \dfrac{\partial u}{\partial x_i} dx \leq ||f||_{L^2} ||\dfrac{\partial u}{\partial x_i}||_{L^2}
[/tex]
On obtient ainsi en posant[tex] C=||\dfrac{\partial u}{\partial x_i}||_{L^2}[/tex], que
[tex]||u||^2_{H^1} \leq C ||f||_{L^2}[/tex]
Mais la question est de montrer que
[tex]||u||_{H^1} \leq C ||f||_{L^2}[/tex]
Quel [tex]C[/tex] choisir et qu'est ce qu'on utilise pour obtenir cette dernière inégalité?
Je vous remercie par avance.

---------------------------------------

[EDIT]
Je ne vais pas m'amuser systématiquement à corriger les imperfections Latex (je l'ai fait dans le post précédent).
[tex]\R^n[/tex] apparaît en rouge parce qu'il faut écrire \mathbb{R}^n  qui donne [tex]\mathbb{R}^n[/tex]
      Yoshi
- modérateur et puriste -

Dernière modification par devil (03-03-2016 17:45:34)

Roro

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Re : inégalité norme H^1

Bonsoir devil,

Tu peux par exemple utiliser l'inégalité de Young [tex]ab\leq \frac{a^2}{2} + \frac{b^2}{2}[/tex] après avoir fait Cauchy-Schwarz... tu obtiendras ton résultat (avec [tex]C=1[/tex]).

Roro.

devil

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Re : inégalité norme H^1

Donc
[tex]
||f||_{L^2}||\dfrac{\partial u}{\partial x_i}||_{L^2} \leq \dfrac{||f||^2_{L^2}}{2}+ \dfrac{||\dfrac{\partial u}{\partial x_i}||_{L^2}}{2}
[/tex]
Ainsi
[tex]
||u||^2_{H^2} \leq \dfrac{||f||^2_{L^2}}{2}+ \dfrac{||\dfrac{\partial u}{\partial x_i}||_{L^2}}{2}
[/tex]
Comment vous obtenez le bon résultat avec C=1?
Merci par avance.

Roro

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Re : inégalité norme H^1

Re,

Tu peux continuer en majorant [tex]\Big\|\frac{\partial u}{\partial_{x_i}}\Big\|_{L^2}[/tex] par [tex]\|\nabla u \|_{L^2}[/tex] et donc par [tex]\|u\|_{H^1}[/tex].

Roro.

P.S. Il y a plein de coquilles dans tes messages... par exemple dans le dernier, tu parles de [tex]H^2[/tex] à la place de [tex]H^1[/tex], tu oublies un carré dans une norme. Il faut être un peu (beaucoup !) plus rigoureux si tu veux faire ce type d'analyse.

Dernière modification par Roro (03-03-2016 22:58:37)