Forum de mathématiques - Bibm@th.net

milexarc

Membre

Inscription : 15-04-2015

Messages : 29

Equation dérivées partielles

Bonjour,

j'aurais besoin d'aide sur cet exercice svp :)

Soit [tex]\phi(x,y) = (x+y, x-y)[/tex]
Soit [tex]A = \{(x,y)\in \mathbb{R}^2  ; x^2-y^2>0, x>0\}[/tex]     

1) Calculer \phi(A)

On cherche les fonctions de R^2 solutions de l'équation [tex]\frac{\partial^2 f}{\partial x}(x,y)-\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(x,y)=\frac{1}{\sqrt{x^2-y^2}}[/tex]        eq1
Soit h la fonction vérifiant [tex]h(u,v) = f(\phi^{-1}(u,v)) [/tex]

2a) Montrer que cet équation est équivalente à [tex]4\frac{\partial h}{\partial u\partial v}(u,v)=\frac{1}{\sqrt{uv}}[/tex]       eq2
Indication : utilisez un changement de variables

2b) Trouver les fonctions h de classe C^2 dans f(A) solutions de eq2

2c) Trouver les fonctions h de classe C^2 dans A solutions de eq1

3) Déterminer les fonctions de classe C^2 dans un ouvert de R^2 solution de [tex]\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x,y)-a^2\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(x,y)=0[/tex]

a  > 0 est un paramètre réel

A vrai dire je bloque sur toutes les questions, si vous pouviez m'aider ça serait top :p

Merci !

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 352

Re : Equation dérivées partielles

Salut,

  Toutes les questions, je n'y crois pas. Allez, je commence (je te préviens, je n'ai fait aucun calcul!).

Pour 2)a), je commencerais par calculer [tex]\phi^{-1}(u,v)[/tex] en fonction de u et de v, puis j'appliquerai le théorème de dérivation d'une fonction composée.

Pour 2)b), c'est assez classique. Commence par poser [tex]g=\frac{\partial h}{\partial v}[/tex] et par résoudre l'équation [tex]\frac{\partial g}{\partial u}=\frac{1}{\sqrt{uv}}[/tex] (c'est simplement un calcul de primitive...).

F.

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 352

Re : Equation dérivées partielles

Bonjour Fred,
Désolé pour l'attente, je n'avais pas vu ton message

Je ne veux pas que tu fasses à ma place mais "seulement" que tu m'expliques comment arriver au résultat :)

Alors pour la 2a)
[tex]\phi^{-1}(u,v) = (\frac{u+v}{2}; \frac{u-v}{2})[/tex]

par contre je ne vois pas à quoi cela m'avance ... ? :/

Ce n'est plus très compliqué. Tu as donc
[tex]h(u,v)=f((u+v)/2,(u-v)/2)[/tex].
Normalement, tu devrais savoir calculer
[tex]\frac{\partial h}{\partial u}(u,v)[/tex] en fonction de [tex]\frac{\partial f}{\partial x}((u+v)/2,(u-v)/2)[/tex] et de [tex]]\frac{\partial f}{\partial y}((u+v)/2,(u-v)/2)[/tex].

2b)

[tex]4\frac{\partial h}{\partial u \partial v}(u,v)=\frac{1}{\sqrt{uv}}[/tex]
en posant [tex]g=\frac{\partial h}{\partial v}[/tex] on obtient :

[tex]4 \frac{\partial g}{\partial u}(u,v) =\frac{1}{\sqrt{uv}}[/tex]
[tex]4 g(u,v) = \sqrt{uv}[/tex]

Je t'arrête ici. Quand tu intègres cette équation, tu le fais par rapport à u et avec v fixé.
Il existe donc une constante qui dépend de v et qu'on va donc noter [tex]C(v)[/tex] de sorte que
[tex]4g(u,v)=\sqrt{uv}+C(v)[/tex].

Il faut reprendre à partir de là.

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 352

Re : Equation dérivées partielles

2a)
heu ..
[tex]\frac{\partial h}{\partial u}(u,v)=\frac{\partial f}{\partial x}((u+v)/2,(u-v)/2))+\frac{\partial f}{\partial y}((u+v)/2,(u-v)/2))[/tex]

Parce que pour toi, la dérivée de la fonction [tex]g(x)=f(2x)[/tex] est [tex]g'(x)=f'(2x)[/tex]????
C'est exactement ce que tu viens d'écrire ici.
Je te conseille de revoir ton cours et les premiers exercices que tu as pu faire où tu as dérivé des fonctions composées.

F.

milexarc

Membre

Inscription : 15-04-2015

Messages : 29

Re : Equation dérivées partielles

Oups !

[tex](f\circ g)'=(f'\circ g)\times g'[/tex]
mais là je n'arrive pas à "voir" qui est f et qui est g :/

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 352

Re : Equation dérivées partielles

Re-

  Est-ce que tu sais dériver [tex]h(t)=f\big( u(t),v(t) \big) [/tex]???
Ne me réponds pas non tout de suite, relis d'abord ton cours et tes exos sur les fonctions de plusieurs variables!

F.